Cho tam giác ABC .Kẻ trung tuyến AD .Gọi M là điểm đối xứng của A qua D .Gọi E và F là trung điểm của AB và AC .K là điểm đối xứng của D qua E
a. Tứ giác ABMC là hình gì
b.Chứng minh tứ giác AEDF là hình chữ nhật
c. Tứ giác ADBK là hình gì
d.Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AEDF là hình vuông
Lời giải:
a. Xét tứ giác ABMC có D là trung điểm của 2 đường chéo AM và BC
Suy ra: ABMC là hình hình hành
Lại có: Tam giác ABC vuông tại A
Nên ABMC là hình chữ nhật.
b. Vì D là trung điểm của BC, E là trung điểm của AB
Nên DE là đường trung bình thuộc cạnh AC của tam giác ABC
Suy ra: DE//AC hay DE//AF (1)
Chứng minh tương tự: DF//AE (2)
Mà
(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: AEDF là hình chữ nhật.
c. Vì tam giác ABCD vuông tại A có AD là trung tuyến
Vì E là trung điểm của 2 đường chéo AB và DK
Nên ADBK là hình bình hành (5)
Từ (4) và (5) suy ra ADBK là hình thoi.
d. Theo câu b: AEDF là hình chữ nhật
Để AEDF là hình vuông thì AE = AF
Mặt khác, theo giả thiết: E là trung điểm của AB, F là trung điểm của AC
Vậy tam giác ABC vuông cân tại A