Cho tam giác ABC; M là trung điểm cạnh BC, N là điểm trên cạnh AC sao cho AN=3NC. Trên tia đó tia BA lấy điểm P sao cho BA=2BP
a, CMR:vectơ AB=2\3vectơ AP, vectơ AC=4/3vectơ An
b, CMR: vectơ AM=1/3 vectơ AP+2/3vectơ AN
c, Gọi I; J là điểm thoả mãn 3vectơ IA+4vectơ IB=vectơ 0
Vectơ CJ=1/2vectơ BC
d, Q là điểm nằm trên cạnh BC
CMR:|vectơ BC|×vectơ AQ=|vectơ QC|×vectơ AB+|vectơ QB|×vectơ AC
a) Do P nằm trên tia đối BA nên B nằm giữa AP.
Mặt khác, lại có
$\dfrac{AB}{AP} = \dfrac{2BP}{AB + BP} = \dfrac{2BP}{2BP + BP} = \dfrac{2}{3}$
Vậy ta có
$\vec{AB} = \dfrac{AB}{AP} \vec{AP} = \dfrac{2}{3} \vec{AP}$.
Ta có
$\dfrac{AC}{AN} = \dfrac{AN + NC}{AN} = \dfrac{3NC + NC}{3NC} = \dfrac{4}{3}$
Vậy ta có
$\vec{AC} = \dfrac{AC}{AN} \vec{AN} = \dfrac{4}{3} \vec{AN}$
b) Ta có
$\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BM}$
$= \dfrac{2}{3} \vec{AP} + \dfrac{1}{2} \vec{BC}$
$= \dfrac{2}{3} \vec{AP} + \dfrac{1}{2} (\vec{AC} – \vec{AB})$
$= \dfrac{2}{3} \vec{AP} + \dfrac{1}{2} (\dfrac{4}{3} \vec{AN} – \dfrac{2}{3} \vec{AP})$
$= \dfrac{2}{3} \vec{AP} + \dfrac{2}{3} \vec{AN} – \dfrac{1}{3} \vec{AP}$
$= \dfrac{1}{3} \vec{AP} + \dfrac{2}{3} \vec{AN}$