Cho tam giác ABC. M là trung điểm của BC và AM là tia phân giác của góc A. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác cân.
Cho tam giác ABC. M là trung điểm của BC và AM là tia phân giác của góc A. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác cân.
(Vẽ hình)
Xét tam giác ABM và ACM:
Góc MAB = MAC (AM là tia phân giác)
AM : Cạnh chung
BM = BC (M là trung điểm của BC)
⇒ Tam giác ABM = ACM
Vậy AB = AC (hai cạnh tương ứng)
⇒ Tam giác ABC là tam giác cân
Kẻ MH⊥AB , MK⊥AC
Xét hai tam giác vuông AHM và AKM, ta có:
góc AHM = góc AKM = 90o
góc HAM = gócKAM (gt)
AM cạnh huyền chung
⇒⇒ ∆AHM = ∆AKM (cạnh huyền, góc nhọn)
Suy ra: MH = MK (hai cạnh tương ứng)
Xét hai tam giác vuông MHB và MKC, ta có:
góc MHB = góc MKC = 90o
MH = MK (chứng minh trên)
MB = MC (gt)
Suy ra: ∆MHB = ∆MKC (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
Suy ra: góc B = góc C(hai góc tương ứng)
Vậy ∆ABC cân tại A.