Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Vẽ \(DM\perp AB\) tại M, \(DN\perp AC\) tại N, \(DK\perp CF\) tại K. CMR: M, K , N thẳng hàng.
Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Vẽ \(DM\perp AB\) tại M, \(DN\perp AC\) tại N, \(DK\perp CF\) tại K. CMR: M, K , N thẳng hàng.
Có 2 cách, cách 1 là chứng minh \(\widehat{MKN}\) bẹt ( = 180 độ), cách 2 là chứng minh 2 đoạn nằm trên cùng 1 doạn cùng song song với cạnh thứ 3. Có thể cách 2 hơi khó hiểu hơn nhé, mình trình bày cả 2 cách.
Cách 1:
Ta có: \((\widehat{FKM}+\widehat{MKD})+\widehat{DKC}=90^o+90^o=180^o\)
mà \(\widehat{FKM}=\widehat{NKC}\left(đối đỉnh\right)\)
⇒ \(\widehat{NKC}+\widehat{MKD}+\widehat{DKC}=180^o\)
\(\Rightarrow\widehat{MKN}=180^o\)
⇒ \(\widehat{MKN}\) bẹt
Vậy M ; K; N thẳng hàng (đpcm)
Cách 2:
Nối 2 điểm E và F lại
Ta có: + DN // BE ( Cùng \(\perp\) AC) \(\Rightarrow\dfrac{CN}{CE}=\dfrac{CD}{BC}\) (a)
+ DK // BF ( Cùng \(\perp\) CF ) \(\Rightarrow\dfrac{CK}{CF}=\dfrac{CD}{BC}\) (b)
Từ (a) và (b) \(\Rightarrow\dfrac{CN}{CE}=\dfrac{CK}{CF}\) \(\Rightarrow\) KN // EF (1)
Ta có: + FH // MD ( Cùng \(\perp\) AB) \(\Rightarrow\dfrac{AF}{AM}=\dfrac{AH}{AD}\) (c)
+ HE // DN ( Cùng \(\perp\) AC) \(\Rightarrow\dfrac{AE}{AN}=\dfrac{AH}{AD}\) (4)
Từ (c) và (d) \(\Rightarrow\dfrac{AF}{AM}=\dfrac{AE}{AN}\) \(\Rightarrow\) EF // MN (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) K, M, N thẳng hàng (dpcm)
$(\widehat{FKM}+\widehat{MKD})+\widehat{DKC}=180^\circ$
$\widehat{NKC}+\widehat{MKD}+\widehat{DKC}=180^\circ\ (\widehat{FKM}=\widehat{NKC}\ \text{đối đỉnh})$
$\Rightarrow\widehat{MKN}=180^\circ$
$⇒ M,K,N$ thẳng hàng