Cho tam giác ABC nhọn, cân tại B, đường cao AH, O và E lân lượt là trung điểm của AB và AC, K là điểm đối xứng với H qua O. Chứng minh EK vuông góc vớ

$∆ABC$ cân tại $B$ có:

$E$ là trung điểm cạnh đáy $AC\quad (gt)$

$\to BE$ là trung tuyến

$\to BE$ là đường cao

$\to BE\perp AC$

$\to ∆ABE$ vuông tại $E$

Xét $∆ABE$ vuông tại $E$ có:

$O$ là trung điểm cạnh huyền $AB\quad (gt)$

$\to OA = OB = OE\qquad (1)$

Xét tứ giác $AHBK$ có:

$OA = OB =\dfrac12AB\quad (gt)$

$OH = OK =\dfrac12HK\quad (gt)$

$\to AHBK$ là hình bình hành (Dấu hiệu nhận biết thứ năm)

Lại có: $\widehat{AHB}=90^\circ\quad (AH\perp BC)$

Do đó $AHBK$ là hình chữ nhật

$\to OA = OB = OH = OK\qquad (2)$

$(1)(2)\to OE = OH = OK$

$\to ∆EHK$ vuông tại $E$

$\to EK\perp EH$