Cho tam giác ABC nhọn. Đường cao AD, Be, CF cắt nhau tại H. Cmr H là giao điểm 3 đường phân giác của tam giác DEF
Cho tam giác ABC nhọn. Đường cao AD, Be, CF cắt nhau tại H. Cmr H là giao điểm 3 đường phân giác của tam giác DEF
Xét tứ giác $BFEC$ có:
$\widehat{BEC} = \widehat{BFC}=90^o$
Do đó $BFEC$ là tứ giác nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{FEC} = \widehat{FCB}$ (cùng nhìn cạnh $BF$) $(1)$
Xét tứ giác $ABDE$ có:
$\widehat{AEB} = \widehat{ADB} = 90^o$
Do đó $ABDE$ là tứ giác nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{BAD} = \widehat{BED}$ (cùng nhìn cạnh $BD$) $(2)$
Ta lại có: $\widehat{BAD} = \widehat{FCB}$ (cùng phụ $\widehat{ABC}$) $(3)$
$(1)(2)(3)\Rightarrow \widehat{FEB} = \widehat{BED}$
$\Rightarrow EB$ là phân giác của $\widehat{FED}$
Chứng minh tương tự, ta được:
$FC$ là phân giác của $\widehat{EFD}$
$DA$ là phân giác của $\widehat{EDF}$
Bên cạnh đó:
$H = EB\cap FC\cap DA$
$\Rightarrow H$ là giao điểm ba đường phân giác của $∆DEF$
_________________
Không dùng tứ giác nội tiếp
Xét $∆AFC$ và $∆AEB$ có:
$\widehat{F} = \widehat{E} = 90^o$
$\widehat{A}:$ góc chung
Do đó $∆AFC\sim ∆AEB\, (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{AF}{AE} = \dfrac{AC}{AB}$
$\Rightarrow \dfrac{AF}{AC} = \dfrac{AE}{AB}$
Xét $∆AFE$ và $∆ACB$ có:
$\dfrac{AF}{AC} = \dfrac{AE}{AB}$ $(cmt)$
$\widehat{A}:$ góc chung
Do đó $∆AFE\sim ∆ACB\,(c.g.c)$
$\Rightarrow \widehat{AEF} = \widehat{ABC}$
Ta lại có: $\widehat{AEF} + \widehat{BEF} = 90^o$
$\widehat{ABC} + \widehat{DAB} = 90^o$
$\Rightarrow \widehat{BAD} = \widehat{BEF}$ $(1)$
Tương tự, ta có: $∆CED\sim ∆CBA\, (g.g)$
$\Rightarrow \widehat{CED} = \widehat{CBA}$
Ta lại có:
$\widehat{CED} + \widehat{DEB} = 90^o$
$\Rightarrow \widehat{DEB} = \widehat{BAD}$ $(2)$
$(1)(2)\Rightarrow \widehat{BEF} = \widehat{DEB}$
$\Rightarrow BE$ là phân giác của $\widehat{DEF}$
Bằng cách chứng minh tương tự, ta được:
$FC$ là phân giác của $\widehat{EFD}$
$DA$ là phân giác của $\widehat{EDF}$
Bên cạnh đó:
$H = EB\cap FC\cap DA$
$\Rightarrow H$ là giao điểm ba đường phân giác của $∆DEF$