cho tam giác ABC nhọn, hãy chứng minh: `sinA={b^2+c^2-a^2}/{2bc}`

Đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$a^2 =b^2 + c^2 – 2bc\cos A$

Từ $B$ kẻ đường cao $BH$ ta được:

$b^2 + c^2 – 2bc\cos A$

$=AC^2 + AB^2 – 2AB.AC.\cos A$

$= (AH + HC)^2 + (AH^2 + BH^2) – 2AB.AC.\dfrac{AH}{AB}$

$= AH^2 + 2AH.HC + HC^2 + AH^2 + BH^2 – 2AH.AC$

$= 2AH^2 + HC^2 + BH^2 -2AH(AC – AH)$

$= 2AH^2 + BC^2 – 2AH^2$

$= BC^2=a^2$

Do đó:

$a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos A$

$\to \cos A = \dfrac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc}$