cho tam giác ABC nhọn, hãy chứng minh: `sinA={b^2+c^2-a^2}/{2bc}` 05/07/2021 Bởi Valentina cho tam giác ABC nhọn, hãy chứng minh: `sinA={b^2+c^2-a^2}/{2bc}`
Đẳng thức cần chứng minh tương đương với: $a^2 =b^2 + c^2 – 2bc\cos A$ Từ $B$ kẻ đường cao $BH$ ta được: $b^2 + c^2 – 2bc\cos A$ $=AC^2 + AB^2 – 2AB.AC.\cos A$ $= (AH + HC)^2 + (AH^2 + BH^2) – 2AB.AC.\dfrac{AH}{AB}$ $= AH^2 + 2AH.HC + HC^2 + AH^2 + BH^2 – 2AH.AC$ $= 2AH^2 + HC^2 + BH^2 -2AH(AC – AH)$ $= 2AH^2 + BC^2 – 2AH^2$ $= BC^2=a^2$ Do đó: $a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos A$ $\to \cos A = \dfrac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc}$ Bình luận
=))
Đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$a^2 =b^2 + c^2 – 2bc\cos A$
Từ $B$ kẻ đường cao $BH$ ta được:
$b^2 + c^2 – 2bc\cos A$
$=AC^2 + AB^2 – 2AB.AC.\cos A$
$= (AH + HC)^2 + (AH^2 + BH^2) – 2AB.AC.\dfrac{AH}{AB}$
$= AH^2 + 2AH.HC + HC^2 + AH^2 + BH^2 – 2AH.AC$
$= 2AH^2 + HC^2 + BH^2 -2AH(AC – AH)$
$= 2AH^2 + BC^2 – 2AH^2$
$= BC^2=a^2$
Do đó:
$a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos A$
$\to \cos A = \dfrac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc}$