Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) có 3 đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H .cmr $\frac{EF}{BC}$+ $\frac{FD}{AC}$ +$\frac{ED}{AB}$ $\geq$ $\frac{3}{2}$

0 bình luận về “Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) có 3 đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H .cmr $\frac{EF}{BC}$+ $\frac{FD}{AC}$ +$\frac{ED}{AB}$ $\geq$ $\frac{3}{2}$”

1. Dễ dàng chứng minh tứ giác $BCEF$ nội tiếp

   $\Rightarrow \widehat{AEF}=\widehat{ABC}$

   $\Rightarrow \triangle AEF\backsim \triangle ABC\ (g.g)$

   $\Rightarrow \dfrac{EF}{BC}=\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}$

   $\Rightarrow \dfrac{EF}{BC}=\sqrt{\dfrac{AE}{AB}\cdot \dfrac{AF}{AC}}$

   $\Rightarrow \dfrac{EF}{BC}\leqslant \dfrac12\left(\dfrac{AE}{AC}+\dfrac{AF}{AB}\right)$

   Hoàn toàn tương tự, ta được:

   $\dfrac{FD}{AC}\leqslant \dfrac12\left(\dfrac{DB}{BC}+\dfrac{FB}{AB}\right)$

   $\dfrac{ED}{AB}\leqslant \dfrac12\left(\dfrac{CD}{BC}+\dfrac{EC}{AC}\right)$

   Cộng vế theo vế ta được:

   $\dfrac{EF}{BC} +\dfrac{FD}{AC} +\dfrac{ED}{AB}\leqslant \dfrac12\left(\dfrac{AE}{AC}+\dfrac{AF}{AB}+ \dfrac{DB}{BC}+\dfrac{FB}{AB} + \dfrac{CD}{BC}+\dfrac{EC}{AC}\right)=\dfrac32$

   Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow \triangle ABC$ đều

   Bình luận