Cho tam giác ABC nhọn, trực tâm H. Đường thẳng vuông góc với BC tại C cắt đường thẳng BH ở D, đường thẳng vuông góc với BC tại B cắt đường thẳng CH tại E. Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm của BE,CD.
a. CMR: M,H,N thẳng hàng
b. Đường thẳng MN cắt trung tuyến AL của tam giác ABC tại P. CMR: đường tròn ngoại tiếp tam giác ABP tiếp xúc với BC.
Giải thích các bước giải:
a.Do BE//CD nên suy ra:
$\Delta HBE\sim\Delta HDC(g.g)\rightarrow \dfrac{BE}{DC}=\dfrac{HB}{HD}$
$\rightarrow \dfrac{2ME}{2NC}=\dfrac{HB}{HD}=\dfrac{ME}{NC}$
$\rightarrow \Delta HME\sim\Delta HNC(c.g.c)$
$\rightarrow \widehat{EHM}=\widehat{CHN}$
$\rightarrow \widehat{EHM}+\widehat{EHN}=\widehat{CHN}+\widehat{EHN}$
$\rightarrow \widehat{MHN}=\widehat{EHC}=180^o$
$\rightarrow M,H,N $ thẳng hàng