Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ hai đường cao AB và CF (E€BC,F€AB) a) chứng minh tứ giác AFEC nội tiếp đường tròn b) chứng minh góc EFC= góc EAC c) qua b kẻ

a) Ta có ˆBEC=ˆBFC=900⇒BEC^=BFC^=900⇒ 2 điểm E, F cùng nhìn BC dưới 1 góc 90⁰ nên 2 điểm E, F cùng thuộc đường tròn đường kính BC ⇒⇒ BCEF là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC tâm M.

Quảng cáo

b) Dựng tiếp tuyến Ax.

Ta có: ˆACB=ˆBAxACB^=BAx^(1) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AB).

Tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp (cmt) ⇒ˆACB+ˆEFB=1800⇒ACB^+EFB^=1800 (Tổng 2 góc đối của tứ giác nội tiếp). Mà ˆEFB+ˆAFE=1800EFB^+AFE^=1800 (2 góc kề bù) ⇒ˆACB=ˆAFE⇒ACB^=AFE^ (2).

Từ (1) và (2) ⇒ˆBAx=ˆAFE⇒BAx^=AFE^. Mà 2 góc này ở vị trí so le trong ⇒Ax//EF⇒Ax//EF.

Mà OA⊥AxOA⊥Ax (Do Ax là tiếp tuyến của đường tròn tại A).

Vậy OA⊥EFOA⊥EF.

c) Ta có ˆACB=900ACB^=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒CD⊥AC⇒CD⊥AC. Mà BH⊥AC⇒BH//CDBH⊥AC⇒BH//CD.

Chứng minh tương tự ta có: CH//BD

Suy ra tứ giác BDCH là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối song song).

⇒⇒ Hai đường chéo BC và HD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

⇒I⇒I là trung điểm của BC và HD.

Do đó OI⊥BCOI⊥BC (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).