Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ hai đường cao AB và CF (E€BC,F€AB)
a) chứng minh tứ giác AFEC nội tiếp đường tròn
b) chứng minh góc EFC= góc EAC
c) qua b kẻ tiếp tuyến xBx’với đường tròn ngoại tiếp tam giác abc. Chứng minh xx’ song song EF
Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ hai đường cao AB và CF (E€BC,F€AB)
a) chứng minh tứ giác AFEC nội tiếp đường tròn
b) chứng minh góc EFC= góc EAC
c) qua b kẻ tiếp tuyến xBx’với đường tròn ngoại tiếp tam giác abc. Chứng minh xx’ song song EF
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a) Ta có ˆBEC=ˆBFC=900⇒BEC^=BFC^=900⇒ 2 điểm E, F cùng nhìn BC dưới 1 góc 900 nên 2 điểm E, F cùng thuộc đường tròn đường kính BC ⇒⇒ BCEF là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC tâm M.
Quảng cáo
b) Dựng tiếp tuyến Ax.
Ta có: ˆACB=ˆBAxACB^=BAx^(1) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AB).
Tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp (cmt) ⇒ˆACB+ˆEFB=1800⇒ACB^+EFB^=1800 (Tổng 2 góc đối của tứ giác nội tiếp). Mà ˆEFB+ˆAFE=1800EFB^+AFE^=1800 (2 góc kề bù) ⇒ˆACB=ˆAFE⇒ACB^=AFE^ (2).
Từ (1) và (2) ⇒ˆBAx=ˆAFE⇒BAx^=AFE^. Mà 2 góc này ở vị trí so le trong ⇒Ax//EF⇒Ax//EF.
Mà OA⊥AxOA⊥Ax (Do Ax là tiếp tuyến của đường tròn tại A).
Vậy OA⊥EFOA⊥EF.
c) Ta có ˆACB=900ACB^=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒CD⊥AC⇒CD⊥AC. Mà BH⊥AC⇒BH//CDBH⊥AC⇒BH//CD.
Chứng minh tương tự ta có: CH//BD
Suy ra tứ giác BDCH là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối song song).
⇒⇒ Hai đường chéo BC và HD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
⇒I⇒I là trung điểm của BC và HD.
Do đó OI⊥BCOI⊥BC (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).