Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O . H là trực tâm của tam giác ABC.
a) Gọi D là điểm đối xứng của A qua O . C/m: vecto BD = vecto HC
b) GỌI k là trung điểm của AH và I là trung điểm của BC . C/m : vecto OK = vecto IH
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O . H là trực tâm của tam giác ABC.
a) Gọi D là điểm đối xứng của A qua O . C/m: vecto BD = vecto HC
b) GỌI k là trung điểm của AH và I là trung điểm của BC . C/m : vecto OK = vecto IH
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a) Do $D$ là điểm đối xứng của $A$ qua $O$
$\Rightarrow AD$ là đường kính $(O)$
$\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{ACD}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $(O)$)
$\Rightarrow AB\bot BD$ và $AC\bot CD$ (1)
mà $H$ là trực tâm $\Delta ABC$
$\Rightarrow AB\bot CH$ và $AC\bot BH$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $BD\parallel CH$ và $CD\parallel BH$
$\Rightarrow $ tứ giác $BHCD$ là hình bình hành (tứ giác có 2 cặp cạnh đối song song)
$\Rightarrow \vec{BD}=\vec{HC} $(đpcm)
b) Tứ giác $BHCD$ là hình bình hành
suy ra giao điểm của đường chéo là trung điểm mỗi đường
$I$ là trung điểm của $BC$
$\Rightarrow I$ là trung điểm của $HD$
$\Rightarrow \vec{IH}=\dfrac{1}{2}\vec{DH}$ (3)
Xét $\Delta AHD$ có $KO$ là đường trung bình
$\Rightarrow OK\parallel=\dfrac{1}{2}HD$
$\Rightarrow \vec{OK}=\dfrac{1}{2}\vec{HD}$ (4)
Từ (3) và (4) suy ra $\vec{OK}=\vec{IH} $ (đpcm)