Cho tam giác ABC. Ở phía ngoài tam giác đó vẽ các tam giác vuông cân tại A là ABD và ACE a)Chứng minh CD = BE và CD vuông góc với BE. b) Kẻ đường thẳ

0 bình luận về “Cho tam giác ABC. Ở phía ngoài tam giác đó vẽ các tam giác vuông cân tại A là ABD và ACE a)Chứng minh CD = BE và CD vuông góc với BE. b) Kẻ đường thẳ”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   a) $\Delta ABD,\Delta ACE\bot A\Rightarrow\widehat{DAB}=\widehat{EAC}=90^o$

   $\widehat{DAC}=\widehat{DAB}+\widehat{BAC}$

   $\widehat{BAE}=\widehat{EAC}+\widehat{BAC}$

   $\Rightarrow\widehat{DAC}=\widehat{BAE}$ (cùng bằng $90^o+\widehat{BAC}$)

   Xét $\Delta ABE$ và $\Delta ADC$ có:

   $AB=AD$ (do $\Delta ABD$ vuông cân đỉnh A)

   $\widehat{BAE}=\widehat{DAC}$ (chứng minh trên)

   $AE=AC$ (do $\Delta ACE$ cân đỉnh A)

   $\Rightarrow\Delta ABE=\Delta ADC$ (c.g.c)

   $\widehat{B_1}=\widehat{D_1}$ (hai góc tương ứng) (1)

   $\Rightarrow BE=DC$ (hai cạnh tương ứng bằng nhau) (đpcm)

   +) Gọi $DC$ cắt $BE$ tại $I$

   và gọi $AB$ cắt $DC$ tại $J$

   Ta có: $\widehat{DIE}=\widehat{IBJ}+\widehat{IJB}$ (góc ngoài $\Delta IJB$)

   $=\widehat{B_1}+\widehat{J_2}$ sử dụng (1) và $\widehat{J_2}=\widehat{J_1}$ (đối đỉnh)

   $=\widehat{D_1}+\widehat{J_1}$

   $=90^o$ (do $\Delta ADJ\bot A$)

   $\Rightarrow\widehat{DIE}=90^o\Rightarrow DI\bot IE$ hay $DC\bot BE$ (đpcm)

   b) Kẻ $DM\bot AH$ và $EN\bot AH$ và gọi $AH$ cắt $DE$ tại $O$

   Xét hai tam giác vuông $\Delta MAD$ và $\Delta HBA$ có:

   $AD=AB$ (do $\Delta ABD$ cân đỉnh A)

   $\widehat{MAD}=\widehat{HBA}$ (cùng phụ với $\widehat{HAB}$)

   $\Rightarrow\Delta MAD=\Delta HBA$ (cạnh huyền-góc nhọn)

   $\Rightarrow DM=AH$ (hai cạnh tương ứng) (2)

   Chứng minh tương tự $\Delta NAE=\Delta HCA$ (cạnh huyền-góc nhọn)

   $\Rightarrow EN=AH$ (hai cạnh tương ứng) (3)

   Từ (2) và (3) suy ra $DM=EN$

   Xét hai tam giác vuông $\Delta MOD$ và $NOE$ có:

   $DM=EN$ (chứng minh trên)

   $\widehat{MOD}=\widehat{NOE}$ (đối đỉnh)

   $\Rightarrow\Delta MOD=\Delta NOE$ (cạnh góc vuông – góc nhọn)

   $\Rightarrow DO=EO\Rightarrow O$ là trung điểm của DE

   AH cắt DE tại O (cách dựng)

   Vậy $AH$ đi qua trung điểm của DE (đpcm).

   Trả lời