cho tam giác ABC. tia phân giác của góc ABC cắt cạnh AC tại M. từ M kẻ đường thẳng song song với AB cắt cạnh BC tại N. tia phân giác góc MNC cắt cạnh MC tại P. Chứng minh rằng:
a) góc MBC= góc BMN
b) BM//NP
c) Tia phân giác của góc BNM cắt cạnh AB ở Q. Chứng minh rằng: NQ vuông góc với BM
cho tam giác ABC. tia phân giác của góc ABC cắt cạnh AC tại M. từ M kẻ đường thẳng song song với AB cắt cạnh BC tại N. tia phân giác góc MNC cắt cạnh
By Maria
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a) Do MN//AB nên $\widehat{ABM} = \widehat{BMN}$ (2 góc so le trong).
Lại có BM là phân giác $\widehat{ABC}$ nên
$\widehat{ABM} = \widehat{MBN} = \dfrac{1}{2} \widehat{ABC}$
DO đó $\widehat{MBN} = \widehat{BMN}$ ($= \widehat{ABM}$)
b) Do MN//AB nên $\widehat{CMN} = \widehat{CAB}$
Xét tam giác CMN ta có
$\widehat{CNM} = 180^{\circ} – \widehat{MCN} – \widehat{CMN}$
$= 180^{\circ} – \widehat{ACB} – \widehat{CAB}$
$= \widehat{ABC}$
Do $NP$ là phân giác $\widehat{MNC}$ nên
$\widehat{MNP}=\widehat{PNC} = \dfrac{1}{2} \widehat{MNC}$
Lại có
$\widehat{ABM} = \widehat{MBN} = \dfrac{1}{2} \widehat{ABC}$
Mà $\widehat{ABC} = \widehat{CNM}$
Do đó
$\widehat{MNP}=\widehat{PNC} = \dfrac{1}{2} \widehat{MNC} = \dfrac{1}{2} \widehat{ABC} = \widehat{ABM} = \widehat{MBN}=\widehat{BMN}$.
Do đó $\widehat{MNP} = \widehat{BMN}$. Mà 2 góc ở vị trí so le trong nên BM//NP.
c) Do $\widehat{NBM} = \widehat{NMB}$ nên tam giác BMN cân tại N.
Lại có NQ là phân giác $\widehat{BNM}$, do đó $NQ$ cũng là đường cao của tam giác BNM. Do đó $NQ \perp BM$.