cho tam giác abc, trung tuyến am . gọi g là trọng tâm tam giác đó , i là trung điểm của đoạn ga. vẽ đường thẳng d không cắt cạnh nào của tam giác đó.

Xét tứ giác $BB’C’C$ có:

$BB’\perp d \, (gt)$

$CC’\perp d\, (gt)$

$\Rightarrow BB’C’C$ là hình thang vuông tại $B’$ và $C’$

Ta lại có: $MM’//BB’//CC’ \, (\perp d)$

$BM = MC\, (gt)$

$\Rightarrow MM’$ là đường trung bình của hình thang $BB’C’C$

$\Rightarrow 2MM’ = BB’ + CC’$

Ta có: $G$ là trọng tâm, $AM$ là trung tuyến

$\Rightarrow AG = 2GM$

Lại có: $AI = IG$

$\Rightarrow AI = IG = GM$

Chứng minh các đường trung bình trong hình thang tương tự như trên, ta được:

$2II’ = AA’ + GG’ \Rightarrow AA’ = 2II’ – GG’$

$2GG’ = II’ + MM’ \Rightarrow II’ = 2GG’ – MM’$

Do đó ta được:

$AA’ + BB’ + CC’$

$= 2II’ – GG’ + 2MM’$

$= 2(2GG’ – MM’) – GG’+ 2MM’$

$= 3GG’$ (đpcm)