Cho tam giác ABC và các điểm M,N nằm trong tam giác sao cho đường thẳng MN cắt AB và AC. Chứng minh: BM + MN + NC < AB + AC
Cho tam giác ABC và các điểm M,N nằm trong tam giác sao cho đường thẳng MN cắt AB và AC. Chứng minh: BM + MN + NC < AB + AC
Gọi D, E lần lượt là giao điểm của MN với AB và AC
ΔBDM có: BD + DM > BM(bất đẳng thức tam giác)
tương tự, ta có:
BD + DM > BM (1)
NE + EC >NC (2)
AD + AE > DE
(1) + (2):
BD + DM + NE + EC > BM + NC
=> BD + DM + NE + EC + MN> BM + NC + MN
=> BD + EC + (DM + NE + MN) > BM + NC + MN
=> BD + EC + DE > BM + NC + MN, mà BD + EC + DE < BD + EC + AD + AE = (BD + AD) +(EC + AC) = AB + AC
=> BM + MN + NC < AB + AC
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$MN$ cắt $AB; AC$ theo thứ tự ở $P;Q$.
Áp dụng tính chất trong 1 tam giác thì độ dài 1 cạnh
bất kỳ luôn bé hơn tổng độ dài 2 cạnh kia
Ta có:
$ MN = PQ – (PM + NQ) < (AP + AQ) – (PM + NQ) (1)$
$ BM < BP + PM (2)$
$ NC < NQ + CQ(3)$
$(1) + (2) + (3) :$
$ BM + MN + NC < (AP + BP) + (AQ + CQ) = AB + AC (đpcm)$