Cho tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có trọng tâm G và G’ CMR AA’+BB’+CC’>=3GG’ 21/08/2021 Bởi Liliana Cho tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có trọng tâm G và G’ CMR AA’+BB’+CC’>=3GG’
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AA’} + \overrightarrow {BB’} + \overrightarrow {CC’} \\ = \left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GG’} + \overrightarrow {G’A’} } \right) + \left( {\overrightarrow {BG} + \overrightarrow {GG’} + \overrightarrow {G’B’} } \right) + \left( {\overrightarrow {CG} + \overrightarrow {GG’} + \overrightarrow {G’C’} } \right)\\ = \left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {CG} } \right) + \left( {\overrightarrow {G’A’} + \overrightarrow {G’B’} + \overrightarrow {G’C’} } \right) + 3\overrightarrow {GG’} \\ = – \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) + \left( {\overrightarrow {G’A’} + \overrightarrow {G’B’} + \overrightarrow {G’C’} } \right) + 3\overrightarrow {GG’} \\ = \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 + 3\overrightarrow {GG’} = 3\overrightarrow {GG’} \\ \Rightarrow \overrightarrow {AA’} + \overrightarrow {BB’} + \overrightarrow {CC’} = 3\overrightarrow {GG’} \\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AA’} + \overrightarrow {BB’} + \overrightarrow {CC’} } \right| = 3GG’\end{array}\) Mà \(\begin{array}{l}\left| {\overrightarrow {AA’} + \overrightarrow {BB’} + \overrightarrow {CC’} } \right| \le \left| {\overrightarrow {AA’} + \overrightarrow {BB’} } \right| + \left| {\overrightarrow {CC’} } \right|\\ \le \left| {\overrightarrow {AA’} } \right| + \left| {\overrightarrow {BB’} } \right| + \left| {\overrightarrow {CC’} } \right| = AA’ + BB’ + CC’\end{array}\) Vậy \(AA’ + BB’ + CC’ \ge 3GG’\) Bình luận
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AA’} + \overrightarrow {BB’} + \overrightarrow {CC’} \\ = \left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GG’} + \overrightarrow {G’A’} } \right) + \left( {\overrightarrow {BG} + \overrightarrow {GG’} + \overrightarrow {G’B’} } \right) + \left( {\overrightarrow {CG} + \overrightarrow {GG’} + \overrightarrow {G’C’} } \right)\\ = \left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {CG} } \right) + \left( {\overrightarrow {G’A’} + \overrightarrow {G’B’} + \overrightarrow {G’C’} } \right) + 3\overrightarrow {GG’} \\ = – \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) + \left( {\overrightarrow {G’A’} + \overrightarrow {G’B’} + \overrightarrow {G’C’} } \right) + 3\overrightarrow {GG’} \\ = \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 + 3\overrightarrow {GG’} = 3\overrightarrow {GG’} \\ \Rightarrow \overrightarrow {AA’} + \overrightarrow {BB’} + \overrightarrow {CC’} = 3\overrightarrow {GG’} \\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AA’} + \overrightarrow {BB’} + \overrightarrow {CC’} } \right| = 3GG’\end{array}\)
Mà
\(\begin{array}{l}\left| {\overrightarrow {AA’} + \overrightarrow {BB’} + \overrightarrow {CC’} } \right| \le \left| {\overrightarrow {AA’} + \overrightarrow {BB’} } \right| + \left| {\overrightarrow {CC’} } \right|\\ \le \left| {\overrightarrow {AA’} } \right| + \left| {\overrightarrow {BB’} } \right| + \left| {\overrightarrow {CC’} } \right| = AA’ + BB’ + CC’\end{array}\)
Vậy \(AA’ + BB’ + CC’ \ge 3GG’\)