cho tam giác ABC với A(-1,0), B(2,3), C(3,-6) và đt (d) : x-2y-3 = 0 Tìm M trên d sao cho |MA+MB+MC| nhỏ nhất

Gọi I(a;b) là điểm thỏa mãn: $\vec{IA}+\vec{IB}+\vec{IC}=\vec{0}$

⇒ I là trọng tâm tam giác ABC

⇒I($\frac{4}{3}; -1$ )

Ta có:

$|\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}|=|(\vec{MI}+\vec{IA})+(\vec{MI}+\vec{IB})+(\vec{MI}+\vec{IC})|$

$= |3\vec{MI}+(\vec{IA}+\vec{IB}+\vec{IC})|$

$=3|\vec{MI}|$

=3MI

MI nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d

Gọi M(2m+3;m) ⇒ $\vec{IM}=(2m+\frac{5}{3};m+1)$

Ta có: $\vec{IM}//\vec{n}(d)=(1;-2) $

⇔$\frac{2m+\frac{5}{3}}{1}$ = $\frac{m+1}{-2}$

⇔m=$\frac{-13}{15}$ 

⇒ $M(\frac{19}{15}$; $\frac{-13}{15})$