Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D E, theo thứ tự di chuyển trên AB AC , sao cho BD = AE . Xác định vị trí điểm D E, sao cho tứ giác BDEC c

0 bình luận về “Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D E, theo thứ tự di chuyển trên AB AC , sao cho BD = AE . Xác định vị trí điểm D E, sao cho tứ giác BDEC c”

1. Đáp án+Giải thích các bước giải:

   Ta có `S_(ADE) = 1/2AD*AE`

   `= 1/2 AD*(AB – AD)`

   `= -1/2 (AD^2 – AB*AD)`

   `= -1/2 (AD^2 – 2*(AB)/2 * AD + (AB)^2/4)+ (AB)^2/8`

   `= -1/2 (AD-(AB)/2)^2+ (AB)^2/8 le (AB)^2/8`

   Vậy `S_(BDEC) = S_(ABC) – S_(ADE) le (AB)^2/2- (AB)^2/8`

   `= 3/8AB^2` không đổi

   Do đó `min BDEC = 3/8AB^2` khi `D,E` lần lượt là trung điểm của `AB,AC`

   Bình luận

2. Đáp án:

   $D,\ E$ là trung điểm $AB,\ AC$ 

   Giải thích các bước giải:

   Đặt $AE = BD = x;\ AB = AC = 1$ (độ dài đơn vị)

   $\Rightarrow AD = CE = 1 – x$

   Ta được:

   $S_{ADE} = \dfrac12AD.AE = \dfrac12x(1-x)$

   $\Rightarrow S_{ADE} \leqslant \dfrac12\cdot \left(\dfrac{x + 1 – x}{2}\right)^2 = \dfrac18\quad (BDT\ Cauchy)$

   Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow x = 1 – x \Leftrightarrow x = \dfrac12$

   $\Leftrightarrow D,\ E$ là trung điểm $AB,\ AC$

   Khi đó:

   $S_{BDEC}$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow S_{ADE}$ lớn nhất $\Leftrightarrow S_{ADE} = \dfrac18 \Leftrightarrow D,\ E$ là trung điểm $AB,\ AC$

   Vậy $D,\ E$ là trung điểm $AB,\ AC$

   Bình luận