Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D E, theo thứ tự di chuyển trên AB AC , sao cho BD = AE . Xác định vị trí điểm D E, sao cho tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D E, theo thứ tự di chuyển trên AB AC , sao cho BD = AE . Xác định vị trí điểm D E, sao cho tứ giác BDEC c
By Audrey
Đáp án+Giải thích các bước giải:
Ta có `S_(ADE) = 1/2AD*AE`
`= 1/2 AD*(AB – AD)`
`= -1/2 (AD^2 – AB*AD)`
`= -1/2 (AD^2 – 2*(AB)/2 * AD + (AB)^2/4)+ (AB)^2/8`
`= -1/2 (AD-(AB)/2)^2+ (AB)^2/8 le (AB)^2/8`
Vậy `S_(BDEC) = S_(ABC) – S_(ADE) le (AB)^2/2- (AB)^2/8`
`= 3/8AB^2` không đổi
Do đó `min BDEC = 3/8AB^2` khi `D,E` lần lượt là trung điểm của `AB,AC`
Đáp án:
$D,\ E$ là trung điểm $AB,\ AC$
Giải thích các bước giải:
Đặt $AE = BD = x;\ AB = AC = 1$ (độ dài đơn vị)
$\Rightarrow AD = CE = 1 – x$
Ta được:
$S_{ADE} = \dfrac12AD.AE = \dfrac12x(1-x)$
$\Rightarrow S_{ADE} \leqslant \dfrac12\cdot \left(\dfrac{x + 1 – x}{2}\right)^2 = \dfrac18\quad (BDT\ Cauchy)$
Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow x = 1 – x \Leftrightarrow x = \dfrac12$
$\Leftrightarrow D,\ E$ là trung điểm $AB,\ AC$
Khi đó:
$S_{BDEC}$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow S_{ADE}$ lớn nhất $\Leftrightarrow S_{ADE} = \dfrac18 \Leftrightarrow D,\ E$ là trung điểm $AB,\ AC$
Vậy $D,\ E$ là trung điểm $AB,\ AC$