Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Một đường thẳng d bất kì luôn đi qua A. Kẻ BH và CK vuông góc với đường thẳng d. Chứng minh rằng tổng BH² + CK² có giá trị không đổi
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Một đường thẳng d bất kì luôn đi qua A. Kẻ BH và CK vuông góc với đường thẳng d. Chứng minh rằng tổng BH² + CK² có giá trị không đổi
Đáp án:
Xét ΔABH và ΔCAH có :
Hˆ=Kˆ=90oH^=K^=90o
AB = AC ( gt )
HABˆ=ACKˆHAB^=ACK^ ( cùng phụ góc KAC )
=> ΔABH = ΔCAK ( c.h-g.n )
=> CK = AH ( 2 cạnh tương ứng )
+) ΔABH vuông ở H,áp dụng định lí Pi-ta-go,ta có :
AH2 + BH2 = AB2
mà AH = CK
=> CK2 + BH2 = AB2 (*)
TH2 : d cắt BC ( tự vẽ hình )
Xét ΔABH và ΔCAK có :
AHBˆ=AKCˆ=90oAHB^=AKC^=90o
AB = AC ( gt )
ABHˆ=CAKˆABH^=CAK^ ( cùng phụ góc BAK )
=>ΔABH = ΔCAK ( c.h-g.n )
=> AH = CK ( 2 cạnh tương ứng )
+) ΔABH vuông ở H,áp dụng định lí Pi-ta-go , ta có :
AH2 + BH2 = AB2
mà AH = CK ( cmt )
=> CK2 + BH2 = AB2 (**)
Từ 2 trường hợp và từ (*) ; (**)
=> CK2 + BH2 có giá trị không đổi ( = AB2 ở cả 2 trường hợp )
Giải thích các bước giải:
Bạn tự vẽ hình nha
Xét ΔHBAcó:
BH2=BA2-AH2( định lí Py-ta-go đảo ) (1)
Chứng minh tương tự ta có : KC2=AC2-AK2(2)
Cộng vế vế (1) và (2) ta được :
BH2+KC2=AB2-AH2-AC2-AK2(3)
Ta có : ΔAHB=ΔCKA(CMT )
⇒{HA=KC
AK=BH
⇒{AH^2=KC^2
AK^2=HB^2(4)
Thay (4) vào (3) ta được (3):
BH2+KC2=AB2-KC2+AB2-HB2(doAB =AC ⇒AC2=AB2)
⇒2(BH2+KC2)=2AB2
⇒BH2+KC2=AB2
Mà cạnh AB của tam giác ABC không đổi (gt)
⇒BH2+KC2 không phụ thuộc vào vị trí của d