Cho tam giác ABC vuông cân tại B,M là trung điểm cạnh BC và N là điểm cạnh CA sao choBN vuông góc với AM.Biết CN=√2 cm.Tính AB

0 bình luận về “Cho tam giác ABC vuông cân tại B,M là trung điểm cạnh BC và N là điểm cạnh CA sao choBN vuông góc với AM.Biết CN=√2 cm.Tính AB”

1. Đáp án:

   $AB = 3 \, cm$

   Giải thích các bước giải:

   Ta có: $∆ABC$ vuông cân tại $B$ $(gt)$

   $\Rightarrow \widehat{C} = 45^o$

   Từ $N$ kẻ $NH\perp BC \, (H\in BC)$

   $\Rightarrow ∆NHC$ vuông cân tại $H$

   $\Rightarrow NH = HC = \dfrac{NC}{\sqrt2} = 1$

   Ta được: $∆BHN\sim ∆BIM \, (g.g)$

   $\Rightarrow \dfrac{BH}{BI} = \dfrac{HN}{IM}$

   $\Rightarrow BI = \dfrac{BH.IM}{HN} = BH.IM$ $(HN= 1)$

   $\Rightarrow BI^2 = BH^2.IM^2$

   $\Leftrightarrow BI^2 = (BC – HC)^2.(BM^2 – BI^2)$

   $\Leftrightarrow BI^2 = (AB – 1)^2.\left(\dfrac{AB^2}{4} – BI^2\right)$ $(*)$

   Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:

   $\dfrac{1}{BI^2} = \dfrac{1}{AB^2} +\dfrac{1}{BM^2}$

   $\Leftrightarrow BI^2 = \dfrac{AB^2.BM^2}{AB^2 + BM^2} = \dfrac{AB^2.\dfrac{AB^2}{4}}{AB^2 + \dfrac{AB^2}{4}} = \dfrac{AB^2}{5}$

   Thay vào $(*)$ ta được:

   $\dfrac{AB^2}{5} = (AB-1)^2.\left(\dfrac{AB^2}{4} – \dfrac{AB^2}{5}\right)$

   $\Leftrightarrow (AB – 1)^2 = 4$

   $\Leftrightarrow AB = 3\, cm$

   Bình luận