Cho tam giác ABC vuông ở A trung tuyến AM từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AM tại H và cắt AC ở D a tam giác BAD đồng dạnh tam giác BHA b AD.AC=BH.BD

a)Xét ΔBHA và ΔBAD, ta có:

góc ABD chung 

góc BHA=BAD=$90^{0}$ 

⇒ΔBHA ≈ ΔBAD(g.g)

b)Vì AM là trung tuyến của Δvuông ABC 

⇒ AM=BM

⇒ΔABM cân tại M

⇒góc ABC=BAH

Mà góc BAH=BDA(ΔBHA ≈ ΔBAD)

⇒góc ABC=BDA

Xét ΔBAC và ΔBAD,ta có:

BAD chung

góc BDA=ABC(cmt)

⇒ΔBAC ≈ ΔDAB(g.g)

⇒$\frac{AB}{AD}$ =$\frac{AC}{AB}$ 

⇒AB²=AD.AC (1)

Vì ΔBHA ≈ ΔBAD(cmt)

⇒$\frac{AB}{BD}$ =$\frac{BH}{AB}$ 

⇒AB²=BD.BH (2)

Từ (1);(2) ta có:

AD.AC=BH.BD (=AB²)

c)Ta có:DI║MC

⇒ΔIAD ≈ ΔMAC (đ/l Ta-lét)

⇒$\frac{ID}{MC}$ =$\frac{AI}{IM}$ (3)

Mà ΔAMC cân tại M ( trung tuyến trong Δ⊥)

⇒ ΔAID cân tại I

⇒ AI = ID 

Ta có:EI║BM

⇒ΔAIE ≈ ΔAMB (đ/l Ta-lét)

⇒ $\frac{IE}{BM}$  =  $\frac{AI}{IM}$ (4)

Mà ΔAMB cân tại M

⇒ΔAEI cân tại I

⇒EI=AI

 Từ (3); (4), ta có:

$\frac{ID}{MC}$= $\frac{IE}{BM}$ 

Từ trên, ta có:

AI=EI=ID

Mà ΔEAD ⊥ tại A

⇒ AI là trung tuyến 

⇒ I là trung điểm ED

Xét ΔIHD và ΔBHM ,ta có:

góc IHD=BHM=90 độ 

góc HMB=HID (dlt)

⇒ ΔIHD≈ΔMHB(g.g)

Trả lời