Cho tam giác ABC vuông tại A (AB< AC), đường cao AH, trung tuyến AM. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. Chứng minh rằng: a) HC-HB = 2HA.tan HAM b) BC^2=3AH^2+BE^2+CF^2 c) AH^3=BE.BC.CF d) Nếu ABC= a; B =B thì (sin a cos a)^2 = 1 + sin B Các bạn giúp mình với cảm ơn các bạn nhiều!
a) $HC – HB$
$= (HM + MC) – (MB – HM)$
$= 2HM$
$= 2.HA.tan\widehat{HAM}$
b) $BC^2 = AB^2 + AC^2$
$= BH^2 + AH^2 + CH^2 + AH^2$
$= BE^2 + HE^2 + CF^2+ HF^2 + 2AH^2$
$= BE^2 + CF^2 + (HE^2 + HF^2) + 2AH^2$
$= BE^2 + CF^2 + EF^2 + 2AH^2$
$= BE^2 + CF^2 + 3AH^2$ ($AEHF$ là hình chữ nhật)
c) Ta có:
$AB.AC= BC.AH = 2S_{ABC}$
$\Rightarrow BC = \dfrac{AB.AC}{AH}$
Ta được:
$BE.BC.CF$
$= BE.CF.\dfrac{AB.AC}{AH}$
$= \dfrac{(AB.BE)(AC.CF)}{AH}$
$= \dfrac{BH^2.CH^2}{AH}$
$= \dfrac{AH^4}{AH}$
$= AH^3$