Cho tam giác ABC vuông tại A(AB bé hơn AC) đường cao AH ,gọi D là điểm đối xứng với A qua H.Đường thẳng kẻ qua D // AB cắt BC ,AC lần lượt ở M vàN
a, tứ giác ABDM là hình gì vì sao
b, chứng minh M là trực tâm của ACD
c,gọi I là trung điểm MC,chứng minh góc HNI=90 độ
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a)
Do DM // AB (giả thiết)
⇒ ∠MDH = ∠HAB (2 góc so le trong)
Xét Δ MDH và ΔBAH, ta có:
∠MDH = ∠HAB (chứng minh trên)
DH = BH (giả thiết)
∠MHD = ∠AHB = $90^{o}$
⇒ Δ MDH = ΔBAH (ch-gn)
⇒ MD = AB (2 cạnh tương ứng)
Mà MD // AB (giả thiết)
⇒ Tứ giác ABDM là hình bình hành
b)
Do MD // AB (giả thiết)
⇒ ND // AB
Mà AB ⊥ AC tại A (do ΔABC vuông tại A)
N ∈ AC (giả thiết)
⇒ DN ⊥ AC tại N
Mà ND cắt CH tại M
CH ⊥ AD tại H (do AH ⊥ BC)
⇒ M là trực tâm của Δ ACD
c)
+) Xét ΔCNM vuông tại N (Do ND ⊥ AC), ta có:
Đường trung tuyến IN ứng với cạnh huyền CM
⇒ IN = $\frac{1}{2}$ CM
⇒ IN = CI = IM
⇒ IN = IM
⇒ ΔINM cân tại I
⇒ ∠INM = ∠ IMN
Mà ∠DMH = ∠ IMN (2 góc đối đỉnh)
⇒ ∠DMH = ∠ INM (1)
+) Xét ΔAND vuông tại N (Do ND ⊥ AC), ta có:
Đường trung tuyến NH ứng với cạnh huyền AD
⇒ HN = $\frac{1}{2}$ AD
⇒ HN = AH = HD
⇒ HN = HD
⇒ ΔNHD cân tại H
⇒ ∠HDN = ∠HND (2)
Cộng (1) với (2) vế theo vế, ta có:
∠DMH + ∠HDN = ∠ INM + ∠HND
⇒ $90^{o}$ = ∠HNI (do ΔHMD vuông tại H)
a) Xét tứ giác ABDN, có:
AB//DN(N\(\in\) đường thẳng đi qua D và // với AB)
\(\Rightarrow\)ABDN là hình thang
Mà \(\widehat{BAN}=90^o\)
\(\Rightarrow\) ABDN là hình thang vuông
b)Xét \(\Delta ADC\), có:
\(DN\perp AC\)(DN//AB mà AB\(\perp\)AC)
\(CH\perp AD\)
Mà M là giao điểm của DN và CH
Do đó: M là trực tâm của \(\Delta ACD\)
c) Ta có
+AH=HD (gt)
=> CH là đường trung tuyến
+ CH là đường cao của △ADC
=> △ADC cân tại C
=> M là trọng tâm
=> \(HM=\dfrac{1}{3}HC\) (3)
và \(MC=\dfrac{2}{3}HC\)
=> \(MI+MC=\dfrac{2}{3}HC\)
mà MI=MC
=> MI=MC=\(\dfrac{2}{3}HC:2=\dfrac{1}{3}HC\)(4)
từ (3) và (4) ta có HM=MI
vì △ACD cân
=> AK là đường phân giác
=> \(\widehat{HAM}=\widehat{MAN}\)
* xét △ HAM và NAM có
\(\widehat{H}=\widehat{N}=\left(90^0\right)\)
AM cạnh chung
\(\widehat{HAM}=\widehat{NAM}\left(cmt\right)\)
=> △HAM = △NAM (ch-gn)
=> HM =NM
* xét △HNI có
HM=NM
HM =IM
=> △HNI vuông tại A (tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông)
=> IN ⊥HN
=> \(\widehat{HNI}=\left(90^0\right)\)