Cho tam giác ABC vuông tại A, AC > AB. Trung trực của AB cắt BC tại I.
a) Chứng minh rằng AIB và AIC là các tam giác cân.
b) Từ I kẻ đường thẳng d vuông góc với BC, cắt tia BA và AC tại M và N; tia BN cắt CM tại E. Chứng minh rằng EB vuông góc MC.
c) Chứng minh rằng các đường thẳng EA và BC song song với nhau.
d)
Tìm điều kiện của tam giác ABC để N là trọng tâm của tam giác AIE.
Cho tam giác ABC vuông tại A, AC > AB. Trung trực của AB cắt BC tại I. a) Chứng minh rằng AIB và AIC là các tam giác cân. b) Từ I kẻ đường thẳng d vuô
By Valerie
a)$ΔIAB $ có $I$ thuộc trung trực $AB$
⇒$ΔIAB$ cân tại $I$
Có $∠IAC = 90 –∠ BAI$
$∠BCA = 90 – ∠ABC$ (mà$ ∠ABC = ∠BAI$ )
⇒$ΔIAC $ cân tại $I$
b)$ΔBMC$ có đường cao $CA$ cắt đường cao $MI$ tại $N$
⇒$N$ là trực tâm
⇒$BE ⊥ MC $
c)$M$ thuộc trung trực $BC => MB = MC => ∠MBC = ∠MCB$
$N$ thuộc trung trực $BC => NB = NC => ∠NBC = ∠NCB$
⇒ $Δ BAC = ΔCEB$ (cgc)
⇒$ MA = ME => M$ thuộc trung trực $AE$
Gọi $J$ là giao của $MI, AE$
⇒ $Δ MJA = Δ MJE $ (cgc)
⇒ $MI ⊥ AE$ (mà $MI ⊥ BC$ )
⇒$AE // BC $
d) Có $NB = NC$ (cmt) mà $EB = AC $ (hai cạnh tương ứng do $Δ BAC = ΔCEB$ )
⇒$NA = NE$
⇒$Δ NAE$ cân tại $N$
⇒ $∠NAE = ∠NEA$
mà $∠NEA = ∠NBC$ (slt) $= NCB $ ($Δ NCB$ cân tại $N$ – cmt ) = IAC ($Δ IAC$ cân tại $I$ – cmt)
⇒$∠NAE = ∠IAC$
⇒$AK$ là tia phân giác $∠IAE$ ( $K$ là giao của $AN, IE$ )
mà $AK$ cũng là trung tuyến $Δ IAE $ ( do $N$ là trọng tâm – gt )
⇒$Δ IAE $ cân tại$A$
⇒$IA = IE$
mà$IA = IC $ ($Δ IAC$ cân tại $I$ – cmt)
⇒$IE = IC$
⇒$Δ IEA = Δ EIC $(cgc)
⇒$IA = EC$
mà $EC = BA$ (cmt)
⇒$IA = BA$
⇒$Δ IAB $ đều
⇒$ABC = 60^o$
⇒$Δ ABC$ cần có góc$ ABC = 60^o$ để N là trọng tâm $Δ IAE$
Mong giúp đc bn!!!
Xin 5* và ctlhn