Cho tam giác ABC vuông tại A, BC=5cm, bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1cm. Tính độ dài các cạnh AB,AC.
Nhanh lên với ạ
Cho tam giác ABC vuông tại A, BC=5cm, bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1cm. Tính độ dài các cạnh AB,AC.
Nhanh lên với ạ
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$ AB = x; AC = y; r = 1$
$ AB.r + BC.r + CA.r = AB.AC (= 2S_{ABC})$
$ ⇔ x + y + 5 = xy ⇔ 2(x + y) + 10 = 2xy (1)$
$ AB² + CA² = BC² ⇔ x² + y² = 25 (2)$
$(2) – (1) : x² + y² – 2(x + y) – 10 = 25 – 2xy$
$ ⇔ (x + y – 1)² = 36 ⇔ x + y – 1 = 6 ⇔ x + y = 7(3)$
Thay $(3)$ vào $(1) ⇒ xy = 12$
$ ⇒ x; y $ là nghiệm $PT : t² – 7t + 12 = 0$
$ ⇒ x = 4; y = 3$ hoặc $x = 3; y = 4$
Đáp án:
$\begin{cases}AB = \sqrt{150 – 6\sqrt{577}} \, cm\\AC = \sqrt{\dfrac{25+\sqrt{577}}{2}} \, cm\end{cases}$
Giải thích các bước giải:
Gọi $x,y$ lần lượt là độ dài 2 cạnh góc vuông $AB, AC$ $(x,y>0)$
Áp dụng định lý Pytago, ta được:
$BC^2 = AB^2 + AC^2$
$\Leftrightarrow 25 = x^2 + y^2$
Ta có:
$S_{ABC} = p.r$ Với $p$ là nửa chu vi và $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}xy = \dfrac{x + y + 5}{2}.1$
$\Leftrightarrow xy = x + y + 5$
$\Leftrightarrow x + y = xy – 5$
$\Rightarrow (x+y)^2 = (xy – 5)^2$
$\Leftrightarrow x^2 + 2xy + y^2 = x^2y^2 – 10xy + 25$
$\Leftrightarrow 25 + 2xy = x^2y^2 – 10xy + 25$
$\Leftrightarrow x^2y^2 – 12xy = 0$
$\Leftrightarrow xy(xy – 12) = 0$
Do $xy \ne 0$
nên $xy – 12 =0$
$\Leftrightarrow x = \dfrac{12}{y}$
$\Rightarrow \left(\dfrac{12}{y}\right)^2 + y^2 = 25$
$\Leftrightarrow y^4 – 25y^2 + 12 = 0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}y^2 = \dfrac{25 -\sqrt{577}}{2}\\y^2 = \dfrac{25+\sqrt{577}}{2}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}y = \sqrt{\dfrac{25 -\sqrt{577}}{2}} < r \quad (loại)\\y = \sqrt{\dfrac{25+\sqrt{577}}{2}} \quad (nhận)\end{array}\right.$
$\Rightarrow x = \dfrac{12}{\sqrt{\dfrac{25+\sqrt{577}}{2}}} = \sqrt{150 – 6\sqrt{577}}$
Vậy $AB,AC$ lần lượt dài $\sqrt{150 – 6\sqrt{577}} \, cm$ và $\sqrt{\dfrac{25+\sqrt{577}}{2}} \, cm$