Cho tam giác ABC vuông tại A, BC=5cm, bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1cm. Tính độ dài các cạnh AB,AC. Nhanh lên với ạ

Đáp án:

$\begin{cases}AB = \sqrt{150 – 6\sqrt{577}} \, cm\\AC = \sqrt{\dfrac{25+\sqrt{577}}{2}} \, cm\end{cases}$

Giải thích các bước giải:

Gọi $x,y$ lần lượt là độ dài 2 cạnh góc vuông $AB, AC$ $(x,y>0)$

Áp dụng định lý Pytago, ta được:

$BC^2 = AB^2 + AC^2$

$\Leftrightarrow 25 = x^2 + y^2$

Ta có:

$S_{ABC} = p.r$ Với $p$ là nửa chu vi và $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}xy = \dfrac{x + y + 5}{2}.1$

$\Leftrightarrow xy = x + y + 5$

$\Leftrightarrow x + y = xy – 5$

$\Rightarrow (x+y)^2 = (xy – 5)^2$

$\Leftrightarrow x^2 + 2xy + y^2 = x^2y^2 – 10xy + 25$

$\Leftrightarrow 25 + 2xy = x^2y^2 – 10xy + 25$

$\Leftrightarrow x^2y^2 – 12xy = 0$

$\Leftrightarrow xy(xy – 12) = 0$

Do $xy \ne 0$

nên $xy – 12 =0$

$\Leftrightarrow x = \dfrac{12}{y}$

$\Rightarrow \left(\dfrac{12}{y}\right)^2 + y^2 = 25$

$\Leftrightarrow y^4 – 25y^2 + 12 = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}y^2 = \dfrac{25 -\sqrt{577}}{2}\\y^2 = \dfrac{25+\sqrt{577}}{2}\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}y = \sqrt{\dfrac{25 -\sqrt{577}}{2}} < r \quad (loại)\\y = \sqrt{\dfrac{25+\sqrt{577}}{2}} \quad (nhận)\end{array}\right.$

$\Rightarrow x = \dfrac{12}{\sqrt{\dfrac{25+\sqrt{577}}{2}}} = \sqrt{150 – 6\sqrt{577}}$

Vậy $AB,AC$ lần lượt dài $\sqrt{150 – 6\sqrt{577}} \, cm$ và $\sqrt{\dfrac{25+\sqrt{577}}{2}} \, cm$