cho tam giác abc vuông tại A, BC=8cm, đường cao AH, vẽ HI vuông góc AB, HK vuông góc AC. tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác AIHK
cho tam giác abc vuông tại A, BC=8cm, đường cao AH, vẽ HI vuông góc AB, HK vuông góc AC. tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác AIHK
Đáp án:
\({S_{AIHK}}\,\,\max = \frac{{25}}{2}\)
Giải thích các bước giải:
AIHK là hình chữ nhật (Tứ giác có 3 góc vuông).
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{S_{AIHK}} = AI.AK \le \frac{{A{I^2} + A{K^2}}}{2} = \frac{{I{K^2}}}{2} = \frac{{A{H^2}}}{2}\\
Ta\,co:\,\,AH = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{1}{{10}}.AB.AC \le \frac{1}{{10}}\frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{2} = \frac{1}{{10}}.\frac{{B{C^2}}}{2} = \frac{1}{{10}}.\frac{{{{10}^2}}}{2} = 5\\
\Rightarrow A{H^2} \le 25\\
\Rightarrow {S_{AIHK}} \le \frac{{25}}{2} \Rightarrow {S_{AIHK}}\,\,\max = \frac{{25}}{2}\\
Dau\,\, = \,\,xay\,\,ra \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AI = AK\\
AB = AC
\end{array} \right. \Rightarrow \Delta ABC\,\,vuong\,\,can\,\,tai\,\,A.
\end{array}\)