Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = a, r là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác. Chứng minh rằng r/a ≥ (√2 -1)/2

0 bình luận về “Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = a, r là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác. Chứng minh rằng r/a ≥ (√2 -1)/2”

1. Ta có:

   $r = (p – a)\tan\dfrac{A}{2} = p – a$

   $\Leftrightarrow r = \dfrac{b + c – a}{2}$

   Ta được:

   $\dfrac{r}{a} = \dfrac{b + c -a}{2a} = \dfrac{b +c}{2a} – \dfrac{1}{2}$

   Mặt khác:

   $a = \sqrt{b^2 + c^2}\geq \sqrt{\dfrac{(b+c)^2}{2}} = \dfrac{b+c}{\sqrt2}$

   Do đó:

   $\dfrac{b + c}{2a} – \dfrac{1}{2} \leq \dfrac{b + c}{2.\dfrac{b + c}{\sqrt2}} – \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt2}{2} – \dfrac{1}{2}$

   Hay $\dfrac{r}{a}\leq \dfrac{\sqrt2 – 1}{2}$

   Bình luận