Cho tam giác ABC vuông tại A,BD là phân giác ABC,D thuộc Ac.Trên BC lấy điểm E sao cho BA=BE.
1 chứng minh DE vuông góc với BC
2) chứng minh BC là đường trung trực của AE
3) Cho AB=3cm,BD=5cm. Tính DE
4)Trên tia đối của tia BE lấy điểm K sao choAK=CE.Chứng minh K,D,E thẳng hàng
5) tam giác BKC là tam giác gì? tam giác ABC cần thêm điều kiện gì để tam giác BKC đều
6)Gọi H là trung điểm của KC. Chứng B,H,D thẳng hàng
7) chứng minh AE song song KC
8) kẻ AI vuông góc với BC. Chứng minh AE là phân giác của CAI
9)tam giác ABC cần thêm diều kiện gì để I là trung điểm của BC
1) Xét $ΔABD$ và $ΔEBD$ có:
$\widehat{ABD} = \widehat{EBD} \, (gt)$
$AB = BE \, (gt)$
$BD:$ cạnh chung
Do đó $ΔABD = ΔEBD \, (c.g.c)$
$\Rightarrow \widehat{BAD} =\widehat{BED}$ (hai góc tương ứng)
mà $\widehat{BAD} = 90^o \, (gt)$
nên $\widehat{BED} = 90^o$
$\Rightarrow DE\perp BE$
hay $DE\perp BC$
2) Ta có: $ΔABD = ΔEBD$
$\Rightarrow AD = DE$
mà $AB = BE \, (gt)$
$\Rightarrow BD$ là đường trung trực của $AE$ (định lý 2)
3) Áp dụng định lý Pytago vào $ΔABD$ vuông tại $A$, ta được:
$BD^2 = AB^2 + AD^2$
$\Rightarrow AD^2 = BD^2 – AB^2 = 5^2 – 3^2 = 16$
$\Rightarrow AD = 4 \, cm$
Ta có: $ΔABD = ΔEBD$
$\Rightarrow AD = DE$
$\Rightarrow DE = 4 \,cm$
4) Sửa đề: $K \in$ tia đối của tia $AB$
Xét $ΔAKD$ và $ΔECD$ có:
$\widehat{DAK} = \widehat{DEC} = 90^o$
$AK = CE \, (gt)$
$AD = DE \, (ΔABD = ΔEBD)$
Do đó $ΔAKD=ΔECD \, (c.g.c)$
$\Rightarrow \widehat{ADK} = \widehat{EDC}$ (hai góc tương ứng)
mà $A, D, C$ thẳng hàng
nên $K, D, E$ thẳng hàng
5) Ta có: $AK = EC \, (gt)$
$AB = EB \, (gt)$
$\Rightarrow AB + AK = EB + EC$
$\Leftrightarrow BK = BC$
Xét $ΔBKC$ có:
$BK = KC \, (cmt)$
Do đó $ΔBKC$ cân tại $B$
6) Xét $ΔBKC$ cân tại $B$ có:
$KE\perp BC$
$CA\perp BK$
$D = KE\cap CA$
$\Rightarrow D$ là trực tâm của $ΔBKC$
$\Rightarrow BD$ là đường cao ứng với cạnh $KC$
$\Rightarrow BD$ là trung tuyến ứng với cạnh $KC$
mà $HK = HC$
$\Rightarrow BH$ là trung tuyến ứng với cạnh $KC$
Do đó $B,D,H$ thẳng hàng
7) Ta có: $ΔBKC$ cân tại $B$
$\Rightarrow \widehat{KCB} = \dfrac{180^o – \widehat{ABC}}{2}$
Ta lại có: $AB = BE \, (gt)$
$\Rightarrow ΔBAE$ cân tại $B$
$\Rightarrow \widehat{AEB} = \dfrac{180^o – \widehat{ABC}}{2}$
Do đó $\widehat{KCB} = \widehat{AEB}$
$\Rightarrow AE//KC$
8) Ta có: $AI\perp BC \, (gt)$
$DE\perp BC$ (câu 1)
$\Rightarrow AI//DE \, (\perp BC)$
$\Rightarrow \widehat{IAE} = \widehat{DEA}$ (so le trong)
Ta lại có:
$AD = DE \, (ΔABD = ΔEBD)$
$\Rightarrow ΔDEA$ cân tại $D$
$\Rightarrow \widehat{DAE} = \widehat{DEA}$
Do đó $\widehat{DAE} = \widehat{IAE} \, (=\widehat{DEA})$
$\Rightarrow AE$ là phân giác của $\widehat{CAI}$
9) $I$ là trung điểm của $BC$
$\Rightarrow AI$ là trung tuyến ứng với cạnh $BC$
mà $AI$ là đường cao ứng với cạnh $BC \, (gt)$
nên $ΔABC$ cân tại $A$
Ta lại có: $ΔABC$ vuông tại $A \, (gt)$
Vậy $ΔABC$ vuông cân tại $A$