Cho tam giác ABC vuông tại A có AB= √3cm, hai đường trung tuyến AD, BE vuông góc với nhau. Tính các cạnh còn lại của tam giác ABC

0 bình luận về “Cho tam giác ABC vuông tại A có AB= √3cm, hai đường trung tuyến AD, BE vuông góc với nhau. Tính các cạnh còn lại của tam giác ABC”

1. Gọi $G = AD\cap BE$

   $\Rightarrow G$ là trọng tâm của $∆ABC$

   $\Rightarrow AG = \dfrac{2}{3}AD = \dfrac{1}{3}BC$

   Áp dụng định lý Pytago, ta được:

   $BC^2 = AB^2 + AC^2 = 3 + AC^2$

   Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:

   $\dfrac{1}{AG^2} = \dfrac{1}{AB^2} + \dfrac{1}{AE^2}$

   $\Leftrightarrow AG^2 = \dfrac{AB^2.AE^2}{AB^2 + AE^2}$

   $\Leftrightarrow \dfrac{BC^2}{9} = \dfrac{3.\dfrac{AC^2}{4}}{3 + \dfrac{AC^2}{4}}$

   $\Leftrightarrow (3 + AC^2)\left(3 + \dfrac{AC^2}{4}\right) = \dfrac{27}{4}AC^2$

   $\Leftrightarrow AC^4 – 12AC^2 + 36 = 0$

   $\Leftrightarrow AC^2 = 6$

   $\Rightarrow AC = \sqrt6 \,cm$

   $\Rightarrow BC =\sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3 + 6} = 3\, cm$

   Bình luận