cho tam giác ABC vuông tại A có AB=6cm; AC=8cm. Kẻ đường cao AH.
a, CM: tam giác ABC đồng dạng vs tam giác HBA
b, CM: AH^2 = HB.HC
c, tính độ dài các cạnh BC, AH
d, phân giác của góc ACB cắt AH tại E, cắt AB tại D. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ACD và HCE
a,Xét ΔABC và ΔHBA :
$\widehat{ABC} : chung$
$\widehat{BAH}=\widehat{ACB} ( cùng phụ với \widehat{HAC})$
$⇒ΔABC\sim ΔHBA(1) (g.g) $
b/Xét ΔABC và ΔHCA có :
$\widehat{ACB} : chung$
$\widehat{CAB}=\widehat{CHA}=90^0$
$⇒ΔABC \sim ΔHCA(2) (g.g)$
Từ (1) và (2) :
$⇒ΔHBA\sim ΔHAC $
$⇒\dfrac{AH}{CH}=\dfrac{HB}{AH}$
hay $AH^2=HC.HB (đpcm)$
c/Vì ΔABC vuông tại A :
$⇒BC^2=AB^2+AC^2=10^2$
$⇒BC=10cm$
$ΔABC\sim ΔHBA$ (theo a)
$⇒\dfrac{AC}{AH}=\dfrac{BC}{BA} $
hay $AH=\dfrac{AC.BA}{BC}=\dfrac{8.6}{10}=4,8cm$
c/CD là phân giác BCA
$\dfrac{AD}{BD} = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}$
$⇒AD=\dfrac{4}{9}.AB$
ΔAHC vuông tại H
$⇒HC=\sqrt{AC^2-HA^2}=\sqrt{8^2-4,8^2}=\sqrt{40,96}=6,4cm$
$\dfrac{S_{ACD}}{S_{ABC}}=\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{4}{9}$
$⇒ S_{ACD} = 24. \dfrac{4}{9} = \dfrac{32}{3} cm^2$
$\dfrac{HE}{AE}=\dfrac{HC}{AC}=\dfrac{4}{5}$
$⇒\dfrac{HE}{AH}=\dfrac{4}{9}$
$\dfrac{S_HEC}{ S_{AHC}} = \dfrac{HE}{AH} =\dfrac{4}{9}$
$⇒S_{HEC}=15,36 . \dfrac{4}{9}=\dfrac{512}{75}$
$⇒\dfrac{S_{ACD}}{S_{HCE}}=\dfrac{ \dfrac{4}{9}}{\dfrac{512}{75}}=\dfrac{25}{384}$