Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao, AM là đường trung tuyến. Qua H kẻ đường thẳng song song với AB và AC, lần lượt cắt AC ở E và AB ở D. DE cắt AH ở O và AM ở I.
a) Tứ giác ADHE là hình gì? Vì sao?
b) Tính góc AIE
Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao, AM là đường trung tuyến. Qua H kẻ đường thẳng song song với AB và AC, lần lượt cắt AC ở E và AB ở D. DE cắt AH ở O và AM ở I.
a) Tứ giác ADHE là hình gì? Vì sao?
b) Tính góc AIE
a) Do AD//AC và $AB \perp AC$ nên $AD \perp AB$.
Tương tự ta có $AE \perp AC$.
Xét tứ giác ADHE có
$\widehat{HDA} = \widehat{DAE} = \widehat{AEH} = 90^{\circ}$
Vậy tứ giác ADHE là hình chữ nhật.
b) Xét tam giác vuông ABC có AM là đường trung tuyến nên
$AM = MC$
Vậy tam giác AMC cân tại M. Suy ra $\widehat{CAM} = \widehat{ACM}$
Mặt khác, do tứ giác ADHE là hình chữ nhật nên $\widehat{AED} = \widehat{AHD}$
Lại có $\widehat{AHD}$ phụ $\widehat{HAD}$ và $\widehat{MBA}$ phụ $\widehat{HAB}$.
Vậy $\widehat{AHD} = \widehat{MBA}$.
Suy ra $\widehat{MBA} = \widehat{AED}$ ($ = \widehat{AHD}$).
Ta lại có
$\widehat{ACM} + \widehat{MBA} = 90^{\circ}$
$<-> \widehat{CAM} + \widehat{AED} = 90^{\circ}$
Xét tam giác IEA có
$\widehat{CAM} + \widehat{AED} + \widehat{AIE} = 180^{\circ}$
$<-> 90^{\circ} + \widehat{AIE} = 180^{\circ}$
$<-> \widehat{AIE} = 90^{\circ}$
Vậy $\widehat{AIE} = 90^{\circ}$.