cho tam giác ABC vuông tại A có BC =2.AB . tia phân giác góc B cắt AC tại D . chứng minh rằng BD = CD . tính góc B và C

Gọi $M$ là trung điểm $BC$

$\to BM = MC =\dfrac12BC$

Lại có: $AB =\dfrac12BC\quad (gt)$

nên $AB = BM$

Xét $∆ABD$ và $∆MBD$ có:

$AB = BM \quad (cmt)$

$\widehat{ABD}=\widehat{MBD}=\dfrac12\widehat{ABC}\quad (gt)$

$BD:$ cạnh chung

Do đó: $∆ABD=∆MBD\, (c.g.c)$

$\to \widehat{BMD}=\widehat{BAD}=90^\circ$ (hai góc tương ứng)

$\to \widehat{DMC}=90^\circ$ (kề bù $\widehat{BMD}$)

Xét $∆DMB$ và $∆DMC$ có:

$\widehat{DMB}=\widehat{DMC}=90^\circ$

$DM:$ cạnh chung

$BM = MC =\dfrac12BC$ (cách dựng)

Do đó $∆DMB=∆DMC\, (c.g.c)$

$\to BD = CD$ (hai cạnh tương ứng)

$\to \widehat{DBM}=\widehat{DCM}$ (hai góc tương ứng)

Ta lại có:

$\widehat{DBM}=\dfrac12\widehat{ABC}\quad (gt)$

nên $\widehat{DCM}=\widehat{ACB}=\dfrac12\widehat{ABC}$

Mặt khác: $∆ABC$ vuông tại $A$

$\to \widehat{ABC} +\widehat{ACB}=90^\circ$

$\to 2\widehat{ACB} +\widehat{ACB}=90^\circ$

$\to 3\widehat{ACB}=90^\circ$

$\to \widehat{ACB}=30^\circ$

$\to \widehat{ABC}=60^\circ$