Cho tam giác
ABC vuông tại A có BD là phân giác,kẻ DE vuông góc vs BC.Gọi F là giao điểm của AB và DE.Chứng minh
a BD là trung trực của AE
b DF=DC
c AD
Cho tam giác ABC vuông tại A có BD là phân giác,kẻ DE vuông góc vs BC.Gọi F là giao điểm của AB và DE.Chứng minh a BD là trung trực của AE b DF=DC c
By Eloise
a, Xét Δ ABD vuông tại A và ΔEBD vuông tại E ta có:
BD cạnh chung
∠ ABD= ∠ EBD(gt)
Do đó Δ ABD=Δ EBD(cạnh huyền – góc nhọn)
⇒ AB=EB ; AD=ED ( cặp cạnh tương ứng )
Vì AB=EB ; AD=ED
nên B là D nằm trên đường trung trực của AE
⇒ BD là đường trung trực của AE(đpcm)
b, Xét Δ ADF và Δ EDC ta có:
∠ FAD=∠ CED(=90độ)
AD=ED(cmt)
∠ ADF=∠ EDC(đối đỉnh)
Do đó Δ ADF=Δ EDC(g . c . g)
⇒ DF=DC (cặp cạnh tương ứng)
c, Xét ΔDEC vuông tại E ta có:
DE < DC (do trong tam giác vuông cạnh huyền lớn nhất)
Mà DE=DA
⇒ DA<DC
d, Vì Δ ADF=Δ EDC(cm câu b)
⇒ AF=EC(cặp cạnh tương ứng)
Ta có: BF=BA+AF ; BC=BE+EC
mà BA=BE ; AF=EC(đã cm)
⇒ BF=BC
⇒ Δ BCF cân tại B
Mặt khác ta có: BA = BE (cm câu a)
⇒ tam giác ABE cân tại B
Xét Δ BCF và ΔABE cân tại B ta có:
góc BAE=(180−∠ ABE)/2 ; ∠BFC=(180 −gócFBC)/2
⇒ ∠ BAE=∠ BFC
⇒ AE//CF(do có 1 cặp góc bằng nhau ở vị trí đồng vị)
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a, Xét tam giác ABD vuông tại A và tam giác EBD vuông tại E ta có:
BD:cạnh chung; góc ABD= góc EBD(gt)
Do đó tam giác ABD=tam giác EBD(cạnh huyền – góc nhọn)
=> AB=EB; AD=ED(cặp cạnh tương ứng)
Vì AB=EB; AD=ED nên B là D nằm trên đường trung trực của AE
=> BD là đường trung trực của AE(đpcm)
b, Xét tam giác ADF và tam giác EDC ta có:
góc FAD=góc CED(=90độ);AD=ED(cmt); góc ADF=góc EDC(đối đỉnh)
Do đó tam giác ADF=tam giác EDC(g.c.g)
=> DF=DC(cặp cạnh tương ứng) (đpcm)
c, Xét tam giác DEC vuông tại E ta có:
DE<DC(do trong tam giác vuông cạnh huyền lớn nhất)
mà DE=DA=> DA<DC(đpcm)
d, Vì tam giác ADF=tam giác EDC(cm câu b)
=> AF=EC(cặp cạnh tương ứng)
Ta có: BF=BA+AF; BC=BE+EC
mà BA=BE;AF=EC(đã cm)
=> BF=BC
=> tam giác BCF cân tại B
mặc khác ta có: BA=BE(cm câu a)
=> tam giác ABE cân tại B
Xét tam giác BCF và tam giác ABE cân tại B ta có:
góc BAE=(180−gócABE)/2 ;góc BFC=(180o−gócFBC)/2
=> góc BAE=góc BFC
=> AE//CF(do có 1 cặp góc bằng nhau ở vị trí đồng vị) (đpcm)