cho tam giác ABC vuông tại A có C =40 tia phân giác góc B cắt cạnh AC tại D kẻ DH vuông góc với BC (H thuộc BC) gọi K là giao điểm của DH =AB a) so sánh các cạnh của tam giác ABC b) c/m tam hiacs ABD = tam giác HBD từ đó suy ra AD=HD c) c/m BD vuông góc với KC
Giải:
Hình bạn tự vẽ nhé.
a) Ta có: tam giác ABC vuông tại A (gt)
=> BC là cạnh dài nhất (vì BC là cạnh huyền)
Lại có: góc ABC + góc ACB = 90 độ (định lí)
=> Góc ABC = 90 độ – góc ACB = 90 độ – 40 độ = 50 độ
Vì góc ABC > góc ACB (50 độ > 40 độ)
=> AC > AB (định lí)
Vậy AB < AC < BC.
b)Ta có: tam giác ABC vuông tại A (gt)
DH _|_ BC tại H (gt)
=> Góc BAC = 90 độ ; góc BHD = 90 độ => Góc BAC = góc BHD = 90 độ
Vì BD là tia phân giác của góc ABC (gt)
nên góc ABD = góc CBD hay góc góc ABD = góc DBH
Xét tam giác ABD và tam giác BDH có:
Góc ABD = góc DBH (chứng minh trên)
BD là cạnh chung
Góc BAC = góc BHD = 90 độ (chứng minh trên)
=> Tam giác ABD = tam giác HBD (cạnh huyền – góc nhọn)
=> AD = DH (2 cạnh tương ứng)
Vậy ta có đpcm.
c) Gọi giao điểm của BD và CK là M
Ta có: CA _|_ BK tại A => Góc CAK = 90 độ
CDH = 90 độ (vì DH _|_ BC tại H)
=> Góc CAK = góc CDH
Xét tam giác ADK và tam giác CDH có:
Góc CAK = goác CDH (chứng minh trên)
AD = DH (chứng minh trên)
Góc ADK = góc CDH (2 góc đối đỉnh)
=> Tam giác ADK = tam giác HDC (g.c.g)
=> Góc DCH = góc AKD (2 góc tương ứng) (1)
DK = CD (2 cạnh tương ứng)
=> Tam giác CDK cân tại D (dấu hiệu nhận biết)
=> Góc CKD = góc DCK (định lí) (2)
Từ (1), (2) => Góc DCH + góc DCK = góc AKD + góc CKD
=> góc HCK = góc AKC
=> góc BCK = góc BKC
=> Tam giác BCK cân tại B (dấu hiệu nhận biết)
=> BK = AC (định lí)
Xét tam giác BKM và tam giác BCM có:
BK = AC (chứng minh trên)
Góc KBM = góc CBM (vì BD là tia phân giác góc B)
BM là cạnh chung
=> Tam giác BKM = tam giác BCM (c.g.c)
=> Góc BMK = goác BMC (2 góc tương ứng)
Lại có: góc BMK + góc BMC = 180 độ
=> Góc BMK = góc BMC = 180 độ : 2 = 90 độ
=> BD _|_ CK (đpcm)
Đáp án:
`a,`
Áp dụng định lí tổng 3 góc `Δ` cho `ΔABC` có :
`hat{A} + hat{B} + hat{C} = 180^o`
`-> hat{B} = 180^o – 90^o – 40^o`
`-> hat{B} =50^o`
Xét `ΔABC` có :
`hat{A} = 90^o, hat{B} = 50^o, hat{C} =40^o`
`-> hat{C} < hat{B} < hat{A}` (Vì `40^o < 50^o < 90^o`)
Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :
`AB < AC < BC`
$\\$
$\\$
$b,$
Xét `ΔABD` và `ΔHBD` có :
`hat{BAD} = hat{BHD} = 90^o`
`BD` chung
`hat{ABD} = hat{HBD}` (giả thiết)
`-> ΔABD = ΔHBD` (cạnh huyền – góc nhọn)
`-> AD = HD` (2 cạnh tương ứng)
$\\$
$\\$
$c,$
Có : `CA⊥BK`
`-> CA` là đường cao của `ΔBKC`
Có : `KH⊥BC`
`-> KH` là đường cao của `ΔBKC`
Xét `ΔBKC` có :
`CA` là đường cao
`KH` là đường cao
`CA` cắt `KH` tại `D`
`-> D` là trực tâm của `ΔBKC`
`-> BD` là đường cao của `ΔBKC`
`-> BD⊥KC`