cho tam giác ABC vuông tại A ,có đường cao AH=4,BC=10. Tính các cạnh còn lại

0 bình luận về “cho tam giác ABC vuông tại A ,có đường cao AH=4,BC=10. Tính các cạnh còn lại”

1. Đáp án: $(AB,AC)\in\{(4\sqrt{5},2\sqrt{5}),(2\sqrt{5},4\sqrt{5})\}$

   Giải thích các bước giải:

   Ta có : $\Delta ABC$ vuông tại $A\to AB^2+AC^2=BC^2=100$

   Mà $AH\perp BC\to AH\cdot BC=AB\cdot AC(=2S_{ABC})$

   $\to AB\cdot AC=40$

   $\to \begin{cases}AB^2+AC^2=100\\ AB\cdot AC=40\end{cases}$

   $\to \begin{cases}AB^2+AC^2+2\cdot AB\cdot AC=100+2\cdot 40\\ AB\cdot AC=40\end{cases}$

   $\to \begin{cases}(AB+AC)^2=180\\ AB\cdot AC=40\end{cases}$

   $\to \begin{cases}AB+AC=6\sqrt{5}, (AB,AC>0)\\ AB\cdot AC=40\end{cases}$

   $\to AB,AC$ là nghiệm của phương trình

   $X^2-6\sqrt{5}X+40=0$

   $\to X\in\{4\sqrt{5}, 2\sqrt{5}\}$

   $\to (AB,AC)\in\{(4\sqrt{5},2\sqrt{5}),(2\sqrt{5},4\sqrt{5})\}$

   Trả lời

2. Áp dụng hệ thức lượng vào Pytago, ta được:

   $\dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{1}{AB^2} + \dfrac{1}{AC^2}\\\Rightarrow AB.AC=AH.BC=4.10=40\\\Rightarrow AB=\dfrac{40}{AC}\\AB^2 + AC^2 = BC^2=100\\\Leftrightarrow AC^2 + \dfrac{1600}{AC^2}=100\\\Leftrightarrow AC^4 – 100AC^2 + 1600 = 0$

   $\Leftrightarrow$ \(\left[ \begin{array}{l}AC^2=80\Rightarrow AC=4\sqrt{5}\Rightarrow AB = \dfrac{40}{4\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}\\AC^2=20 \Rightarrow AC = 2\sqrt{5} \Rightarrow AB = 4\sqrt{5}\end{array} \right.\) 

   Vậy $(AB;AC) = (4\sqrt{5};2\sqrt{5}) \, hoặc \, (2\sqrt{5};4\sqrt{5})$

   Trả lời