cho tam giác abc vuông tại a có đường cao ah m,n lần lượt là hình chiếu của h trên ab ac
c/m AH2/BM.CN = AC/AB +AB/AC
cho tam giác abc vuông tại a có đường cao ah m,n lần lượt là hình chiếu của h trên ab ac
c/m AH2/BM.CN = AC/AB +AB/AC
Bạn tự vẽ hình nhé
Ta có AB²= BH.BC=> $\frac{AB}{BH}$ =$\frac{BC}{AB}$ (*)
AC²= CH.BC=> $\frac{AC}{CH}$ =$\frac{BC}{AC}$ (*’)
AB.AC=AH.BC(Do tam giác vuông có AH là đường cao)
BC²=AB²+AC²(Pytago)
Xét tam giác ABC có MH//AC(Do MH⊥AB và AC⊥AB)
=> $\frac{BM}{AB}$= $\frac{BH}{BC}$ (1)
Tương tự do NH//AB => $\frac{CN}{AC}$= $\frac{CH}{BC}$ (2)
Nhân 2 vế (1) và (2)
$\frac{BM.CN}{AB.AC}$=$\frac{BH.CH}{BC²}$
$\frac{BM.CN}{BC.AH}$=$\frac{BH.CH}{BC²}$
$\frac{BM.CN}{AH}$=$\frac{BH.CH}{BC}$
$\frac{AH}{BM.CN}$=$\frac{BC}{BH.CH}$ (Đảo lại thôi)
$\frac{AH²}{BM.CN}$=$\frac{BC.AH}{BH.CH}$
=$\frac{AB.AC}{BH.CH}$
=$\frac{BC²}{AB.AC}$ (do (*) và (*’))
=$\frac{AB²+AC²}{AB.AC}$
=$\frac{AB}{AC}$+$\frac{AC}{AB}$