cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.Các đường tròn đường kính BH và đường tròn đường kính CH cắt AB,AC theo thứ tự tại D và E.
a,c/m tam giác ABC đồng dạng tam giác AED
b,đường thẳng DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn
cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.Các đường tròn đường kính BH và đường tròn đường kính CH cắt AB,AC theo thứ tự tại D và E.
a,c/m tam giác ABC đồng dạng tam giác AED
b,đường thẳng DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a) Xét `ΔAHB` vuông tại H có:
`AH^2=AD.AB\ (1)` (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Tương tự ta được `AH^2=AE.AC\ (2)`
Từ `(1)` và `(2)` `⇒ AD.AB=AE.AC`
Xét `ΔABC` và `ΔAED` có:
`\hat{BAC}=\hat{EAD}=90^{0}`
`\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}` (cmt)
Do đó: \(ΔABC \sim ΔAED\) (c-g-c)
b) Ta có: Xét tứ giác `ADHE` có:
`\hat{DAE}=\hat{AEH}=\hat{DHE}=90^{0}`
`⇒` Tứ giác `ADHE` là hình chữ nhật
Gọi giao của AH và DE là I
`⇒` I là trung điểm của mỗi đường chéo
`⇒ IA=IH=ID=IE`
Xét `ΔMID` và `ΔMIH` có: (M là tâm của đường tròn đường kính BH)
`MD=MH=R`
`MI` chung
`ID=IH` (cmt)
Do đó: `ΔMID=ΔMIH` (c-c-c)
Suy ra: `\hat{MDI}=\hat{MHI}` ( 2 góc tương ứng)
Mà `\hat{MHI}=90^{0}⇒\hat{MDI}=90^{0}`
`⇒ MD ⊥ DE\ (1)`
Cm tương tự `⇒ NE⊥ED\ (2)`
Từ `(1)` và `(2) ⇒ DE` là hai tiếp tuyến chung của `(M)` và `(N)`