Cho Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH CMR Chuvi(HAB)^2 + chuvi(HAC)^2= chuvi(ABC)^2

0 bình luận về “Cho Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH CMR Chuvi(HAB)^2 + chuvi(HAC)^2= chuvi(ABC)^2”

1. $P_{HAB}^2= (AB + BH + AH)^2 = AB^2 + BH^2 + AH^2 + 2AB.AH + 2AB.BH + 2AH.BH$

   $P_{HAC}^2 = (AC + AH + CH)^2 = AC^2 + AH^2 + CH^2 + 2AC.AH + 2AC.CH + 2AH.CH$

   $\Rightarrow P_{HAB}^2 + P_{HAC}^2$

   $= (AB^2 + AC^2 + AH^2 + BH^2 + AH^2 + CH^2) + (2AB.AH + 2.AC.CH) + (2AB.BH+2AC.AH) + (2BH.AH + 2CH.AH)$

   Do $∆ABH \sim ∆CAH$

   nên $\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{BH}{AH} = \dfrac{AH}{CH}$

   và $AH.BC = AB.AC = 2S_{ABC}$

   $\Rightarrow \begin{cases}AB.AH = AC.BH\\AC.AH = AB.CH\\AH.CH + AH.BH = AB.AC\end{cases}$

   Ta được:

   $P_{HAB}^2 + P_{HAC}^2$

   $= BC^2 + AB^2 + AC^2 + 2(AC.BH + AC.CH) + 2(AB.BH + AB.CH) + 2AB.AC$

   $= AB^2 + AC^2 + BC^2 + 2AC.BC + 2AB.BC + 2AB.AC$

   $= (AB + AC + BC)^2 = P_{ABC}^2$

   Bình luận