Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là điểm đối xứng của H qua AB và AC. Chứng minh A là trung điểm của DE.

0 bình luận về “Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là điểm đối xứng của H qua AB và AC. Chứng minh A là trung điểm của DE.”

1. $D$ đối xứng $H$ qua $AB$

   $→AB$ là đường trung trực $DH$

   $→AD=AH$

   $E$ đối xứng $H$ qua $AC$

   $→AC$ là đường trung trực $DE$

   $→AH=AE$ 

   Vì $\begin{cases}AD=AH\\AH=AE\end{cases}→AD=AE$ (1)

   Giả sử: $DH∩AB≡\{F\}$ và $HE∩AC≡\{G\}$

   Xét tứ giác $AFHG$:

   $\widehat{FAG}=\widehat{AFH}=\widehat{AGH}=90^\circ$

   $→\widehat{FHG}=90^\circ$

   $→\widehat{FHG}=\widehat{FAG}$

   Vì $\begin{cases}AB⊥AC\\DH⊥AB\end{cases}→AC//DH→\widehat{A_1}=\widehat{D}$ (đồng vị)

   Vì $\begin{cases}AB⊥AC\\HE⊥AC\end{cases}→AB//HE→\widehat{A_2}=\widehat{E}$ (đồng vị)

   Ta có: $\widehat{DHE}+\widehat{D}+\widehat{E}=180^\circ$

   $→\widehat{FAG}+\widehat{A_1}+\widehat{A_2}=180^\circ$ 

   $→D;A;E$ thẳng hàng (2)

   Từ (1);(2) $→DA=EA→A$ là trung điểm $DE$

    

   Bình luận

2. Ta có:

   $D$ đối xứng $H$ qua $AB$

   $\Rightarrow AB$ là trung trực của $HD$

   $\Rightarrow AD = AH\quad (1)$

   Ta cũng được:

   $AB$ là phân giác của $\widehat{HAD}$

   $\Rightarrow \widehat{HAD}=2\widehat{HAB}$

   Chứng minh tương tự, ta được:

   $AC$ là trung trực của $HE$

   $\Rightarrow AE = AH \quad (2)$

   $AC$ là phân giác của $\widehat{HAE}$

   $\Rightarrow\widehat{HAE}=2\widehat{HAC}$

   Ta được:

   $\widehat{HAD}+\widehat{HAE}=2(\widehat{HAB}+\widehat{HAC}=2\widehat{BAC} = 180^o$

   $\Rightarrow D, A, E$ thẳng hàng $(3)$

   $(1)(2)(3)\Rightarrow A$ là trung điểm $DE$

   Bình luận