Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là điểm đối xứng của H qua AB và AC. Chứng minh A là trung điểm của DE.
Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là điểm đối xứng của H qua AB và AC. Chứng minh A là trung điểm của DE.
By aikhanh
$D$ đối xứng $H$ qua $AB$
$→AB$ là đường trung trực $DH$
$→AD=AH$
$E$ đối xứng $H$ qua $AC$
$→AC$ là đường trung trực $DE$
$→AH=AE$
Vì $\begin{cases}AD=AH\\AH=AE\end{cases}→AD=AE$ (1)
Giả sử: $DH∩AB≡\{F\}$ và $HE∩AC≡\{G\}$
Xét tứ giác $AFHG$:
$\widehat{FAG}=\widehat{AFH}=\widehat{AGH}=90^\circ$
$→\widehat{FHG}=90^\circ$
$→\widehat{FHG}=\widehat{FAG}$
Vì $\begin{cases}AB⊥AC\\DH⊥AB\end{cases}→AC//DH→\widehat{A_1}=\widehat{D}$ (đồng vị)
Vì $\begin{cases}AB⊥AC\\HE⊥AC\end{cases}→AB//HE→\widehat{A_2}=\widehat{E}$ (đồng vị)
Ta có: $\widehat{DHE}+\widehat{D}+\widehat{E}=180^\circ$
$→\widehat{FAG}+\widehat{A_1}+\widehat{A_2}=180^\circ$
$→D;A;E$ thẳng hàng (2)
Từ (1);(2) $→DA=EA→A$ là trung điểm $DE$
Ta có:
$D$ đối xứng $H$ qua $AB$
$\Rightarrow AB$ là trung trực của $HD$
$\Rightarrow AD = AH\quad (1)$
Ta cũng được:
$AB$ là phân giác của $\widehat{HAD}$
$\Rightarrow \widehat{HAD}=2\widehat{HAB}$
Chứng minh tương tự, ta được:
$AC$ là trung trực của $HE$
$\Rightarrow AE = AH \quad (2)$
$AC$ là phân giác của $\widehat{HAE}$
$\Rightarrow\widehat{HAE}=2\widehat{HAC}$
Ta được:
$\widehat{HAD}+\widehat{HAE}=2(\widehat{HAB}+\widehat{HAC}=2\widehat{BAC} = 180^o$
$\Rightarrow D, A, E$ thẳng hàng $(3)$
$(1)(2)(3)\Rightarrow A$ là trung điểm $DE$