Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH gọi E và F là hình chiếu của H trên AB và AC . Chứng minh rằng
a, Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn
b, Tứ giác EFCB nội tiếp
Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH gọi E và F là hình chiếu của H trên AB và AC . Chứng minh rằng
a, Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn
b, Tứ giác EFCB nội tiếp
Đáp án:
Gọi giao điểm của AH và EF là G
giao điểm của AM và EF là N.
Ta có: {AE⊥AFHF⊥AF⇒EA//HF{AE⊥AFHF⊥AF⇒EA//HF
⇒AEFˆ=EFHˆ⇒AEF^=EFH^ (so le trong) (1)
Trong ΔAHFΔAHF vuông tại F:
FG là đường trung tuyến kẻ từ F ứng với cạnh huyền AH
⇒FG=12AH⇒FG=12AH
⇒FG=AG=GH⇒FG=AG=GH
⇒ΔGHF⇒ΔGHF cân tại G
⇒EFHˆ=AHFˆ⇒EFH^=AHF^ (2)
Từ (1) và (2) ⇒AEFˆ=AHFˆ⇒AEF^=AHF^ (3)
C/m: EH // FC (cùng vuông góc với AB)
⇒BHEˆ=HCFˆ⇒BHE^=HCF^ (đồng vị) (*)
Lại có: HCFˆ+FHCˆ=AHFˆ+FHCˆ=90oHCF^+FHC^=AHF^+FHC^=90o
⇒HCFˆ=AHFˆ⇒HCF^=AHF^ (4)
Từ (3) và (4) => AEFˆ=HCFˆAEF^=HCF^ (**)
Từ (*) và (**) => BHEˆ=AEFˆBHE^=AEF^ (.)
Trong ΔBHE;ΔEANΔBHE;ΔEAN lần lượt vuông tại E và N có:
BHEˆ+HBAˆ=AEFˆ+MAEˆ=90oBHE^+HBA^=AEF^+MAE^=90o
Khi đó kết hợp với (.) => HBAˆ=MAEˆHBA^=MAE^
hay MBAˆ=MABˆMBA^=MAB^
⇒ΔMBA⇒ΔMBA cân tại H
=> MB = MA
C/m tương tự: MA = MC
Vậy MB = MA = MC <=> AM là trung tuyến của ΔABC.
Giải thích các bước giải:mình không vẽ hình được