Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH gọi E và F là hình chiếu của H trên AB và AC . Chứng minh rằng a, Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn b, Tứ gi

Đáp án:

Gọi giao điểm của AH và EF là G

giao điểm của AM và EF là N.

Ta có: {AE⊥AFHF⊥AF⇒EA//HF{AE⊥AFHF⊥AF⇒EA//HF

⇒AEFˆ=EFHˆ⇒AEF^=EFH^ (so le trong) (1)

Trong ΔAHFΔAHF vuông tại F:

FG là đường trung tuyến kẻ từ F ứng với cạnh huyền AH

⇒FG=12AH⇒FG=12AH

⇒FG=AG=GH⇒FG=AG=GH

⇒ΔGHF⇒ΔGHF cân tại G

⇒EFHˆ=AHFˆ⇒EFH^=AHF^ (2)

Từ (1) và (2) ⇒AEFˆ=AHFˆ⇒AEF^=AHF^ (3)

C/m: EH // FC (cùng vuông góc với AB)

⇒BHEˆ=HCFˆ⇒BHE^=HCF^ (đồng vị) (*)

Lại có: HCFˆ+FHCˆ=AHFˆ+FHCˆ=90oHCF^+FHC^=AHF^+FHC^=90o

⇒HCFˆ=AHFˆ⇒HCF^=AHF^ (4)

Từ (3) và (4) => AEFˆ=HCFˆAEF^=HCF^ (**)

Từ (*) và (**) => BHEˆ=AEFˆBHE^=AEF^ (.)

Trong ΔBHE;ΔEANΔBHE;ΔEAN lần lượt vuông tại E và N có:

BHEˆ+HBAˆ=AEFˆ+MAEˆ=90oBHE^+HBA^=AEF^+MAE^=90o

Khi đó kết hợp với (.) => HBAˆ=MAEˆHBA^=MAE^

hay MBAˆ=MABˆMBA^=MAB^

⇒ΔMBA⇒ΔMBA cân tại H

=> MB = MA

C/m tương tự: MA = MC

Vậy MB = MA = MC <=> AM là trung tuyến của ΔABC.

Giải thích các bước giải:mình không vẽ hình được