Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.Gọi (I),(K) lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABH,ACH.Đường thẳng KI cắt AB tại M,AC tại N .

Lời giải:

Ta có:

$I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle ABH$

$\Rightarrow I$ là giao điểm các đường phân giác $\widehat{ABH}$ và $\widehat{AHB}$

$\Rightarrow \begin{cases}\widehat{IBH} = \widehat{IBA} = \dfrac12\widehat{ABH}\\\widehat{IHA} = \widehat{IHB} = \dfrac12\widehat{AHB} = 45^\circ\end{cases}\qquad (1)$

Tương tự:

$K$ là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle ACH$

$\Rightarrow K$ là giao điểm các đường phân giác $\widehat{ACH}$ và $\widehat{AHC}$

$\Rightarrow \begin{cases}\widehat{KCH} = \widehat{KCA} = \dfrac12\widehat{ACH}\\\widehat{KHA} = \widehat{KHC} = \dfrac12\widehat{AHC} = 45^\circ\end{cases}\qquad (2)$

Ta lại có:

$\widehat{ABH} = \widehat{HAC}$ (cùng phụ $\widehat{HAB}$) $\qquad \quad (3)$

Từ $(1)(2)(3)\Rightarrow \begin{cases}\widehat{IBH} = \widehat{KAH}\\\widehat{IHB} = \widehat{KHA}\end{cases}$

Xét $\triangle IBH$ và $\triangle KAH$ có:

$\begin{cases}\widehat{IBH} = \widehat{KAH}\\\widehat{IHB} = \widehat{KHA}\end{cases}\quad (cmt)$

Do đó: $\triangle IBH \backsim\triangle KAH\ (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{IH}{KH} = \dfrac{BH}{AH}$