Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.Gọi (I),(K) lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABH,ACH.Đường thẳng KI cắt AB tại M,AC tại N .

0 bình luận về “Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.Gọi (I),(K) lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABH,ACH.Đường thẳng KI cắt AB tại M,AC tại N .”

1. Xét ΔIKH và ΔBAH

   $\widehat{IHC}=\widehat{BHA}=90^0$

   $\widehat{HIK}=\widehat{HBA}$

   Vậy ΔIKH ~ ΔBAH (g-g)

   `⇒` `\frac{IH}{BH}“=“\frac{KH}{BH}`

   `⇒` `\frac{IH}{KH}“=“\frac{BH}{AH}`

   Bình luận

2. Lời giải:

   Ta có:

   $I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle ABH$

   $\Rightarrow I$ là giao điểm các đường phân giác $\widehat{ABH}$ và $\widehat{AHB}$

   $\Rightarrow \begin{cases}\widehat{IBH} = \widehat{IBA} = \dfrac12\widehat{ABH}\\\widehat{IHA} = \widehat{IHB} = \dfrac12\widehat{AHB} = 45^\circ\end{cases}\qquad (1)$

   Tương tự:

   $K$ là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle ACH$

   $\Rightarrow K$ là giao điểm các đường phân giác $\widehat{ACH}$ và $\widehat{AHC}$

   $\Rightarrow \begin{cases}\widehat{KCH} = \widehat{KCA} = \dfrac12\widehat{ACH}\\\widehat{KHA} = \widehat{KHC} = \dfrac12\widehat{AHC} = 45^\circ\end{cases}\qquad (2)$

   Ta lại có:

   $\widehat{ABH} = \widehat{HAC}$ (cùng phụ $\widehat{HAB}$) $\qquad \quad (3)$

   Từ $(1)(2)(3)\Rightarrow \begin{cases}\widehat{IBH} = \widehat{KAH}\\\widehat{IHB} = \widehat{KHA}\end{cases}$

   Xét $\triangle IBH$ và $\triangle KAH$ có:

   $\begin{cases}\widehat{IBH} = \widehat{KAH}\\\widehat{IHB} = \widehat{KHA}\end{cases}\quad (cmt)$

   Do đó: $\triangle IBH \backsim\triangle KAH\ (g.g)$

   $\Rightarrow \dfrac{IH}{KH} = \dfrac{BH}{AH}$

    

   Bình luận