Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M,N là hình chiếu vuông góc của H lần lượt lên AB, AC a) Chứng minh BM mũ 2 + 3AH mũ 2 + CN mũ 2 = BC

0 bình luận về “Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M,N là hình chiếu vuông góc của H lần lượt lên AB, AC a) Chứng minh BM mũ 2 + 3AH mũ 2 + CN mũ 2 = BC”

1. a) Ta có:

   $HM\perp AB; \, HN\perp AC \, (gt)$

   $\Rightarrow \widehat{M} = \widehat{N} = 90^o$

   $\Rightarrow AMHN$ là hình chữ nhật

   $\Rightarrow MN = AH$

   Áp dụng định lý Pytago, ta được:

   $BC^2 = AB^2 + AC^2$

   $= AH^2 + BH^2 + AH^2 + CH^2$

   $= BM^2 + MH^2 + CN^2 + NH^2 + 2AH^2$

   $= BM^2 + CN^2 + MN^2 + 2AH^2$

   $=BM^2 +CN^2 + 3AH^2$

   b) Ta có:

   $AB.AC = BC.AH = 2S_{ABC}$

   $\Rightarrow BC = \dfrac{AB.AC}{AH}$

   Ta được:

   $BM.CN.BC = BM.CN.\dfrac{AB.AC}{AH}$

   $=\dfrac{(AB.BM)(AC.CN)}{AH}$

   $=\dfrac{BH^2.CH^2}{AH}$

   $=\dfrac{AH^4}{AH} = AH^3$

   c) Ta có: $\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AH}{CH}$

   $\Rightarrow \left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2 = \left(\dfrac{AH}{CH}\right)^2$

   $\Rightarrow \dfrac{AB^2}{AC^2} = \dfrac{BH.CH}{CH^2} = \dfrac{BH}{CH}$

   $\Rightarrow \dfrac{AB^4}{AC^4} = \dfrac{BH^2}{CH^2} = \dfrac{AB.BM}{AC.CN}$

   $\Rightarrow \dfrac{AB^3}{AC^3} = \dfrac{BM}{CN}$

   Bình luận