Cho tam giác ABC vuông tại A . Đường phân giác BE , Kẻ EH vuông góc với BC ( H thuộc BC ) , gọi K là giao điểm của AB và HE , chứng minh rằng:
a) EA = EH
b) EK = EC
c) BE vuông góc KC
Cho tam giác ABC vuông tại A . Đường phân giác BE , Kẻ EH vuông góc với BC ( H thuộc BC ) , gọi K là giao điểm của AB và HE , chứng minh rằng:
a) EA = EH
b) EK = EC
c) BE vuông góc KC
a)Xét `ΔBAE` và `ΔBHE` ta có : $\widehat{BAE}$=$\widehat{BHE}$ ( `=90^o` )
BE: cạnh chung
$\widehat{ABE}$= $\widehat{HBE}$ (gt)
`=>ΔBAE=ΔBHE` (ch-gn )
`=>EA=EH` ( 2 cạnh tương ứng )
b)Xét `ΔKAE` và `ΔCHE` ta có : $\widehat{CAE}$=$\widehat{CHE}$ ( `=90^o` )
EA=EH (cmt )
$\widehat{KEA}$= $\widehat{CEH}$ (2 góc đối đỉnh )
`=>ΔKAE=ΔCHE` (cgv-gn )
`=>EK=EC` ( 2 cạnh tương ứng )
c) Xét `ΔBKC` ta có : `HK⊥BC` (HK là đường cao của `ΔBKC` )
`CA⊥BK` ( CA là đường cao của `ΔBKC` )
mà CA và HK cắt nhau tại E
`=>` E là trực tâm của `ΔBKC`
mà BE đi qua E
`=>` BE là đường cao của `ΔBKC`
`=> BE⊥KC`
$\text{Xin hay nhất }$
Giải thích các bước giải:
a) Xét ΔABE vuông tại A và ΔHBE vuông tại H, có:
BE là cạnh chung
∠ABE =∠HBE(BE là tia phân giác)
Vậy ΔABE=ΔHBE ( cạnh huyền-góc nhọn)
⇒ EA=EH ( 2 cạnh tương ứng)
b) Xét ΔKBE và ΔCBE, có:
BE là cạnh chung
BA=BH (ΔABE=ΔHBE)
∠ABE =∠HBE(BE là tia phân giác)
Vậy ΔKBE=ΔCBE (c.g.c)
c) Ta có: BK=BC ( ΔKBE=ΔCBE )
Nên B nằm trên đường vuông góc của KC
⇒E nằm trên đường vuông góc KC
Vậy BE⊥KC