Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BK (K thuộc AC). Kẻ KI vuông góc BC ( I thuộc BC)
a) C/m tam giác ABK = tam giác IBK
b) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Chứng minh AI là tia phân giác của góc HAC
c) Gọi F là giao điểm của AH và BK. C/m tam giác AFK cân và AF < KC
d) Lấy điểm M thuộc tia AH sao cho AM = AC. C/m IM vuông góc IF
*Nhanh nhé mk đang cần gấp nhé
a) Xét ΔABK=ΔIBK có:
góc IBK= góc ABK ( BK là phân giác )
IB là cạnh chung
góc BAK= góc BIK( =90 độ )
=> ΔABK=ΔIBK(cạnh huyền-góc nhọn)
b) Ta có:AH⊥BC và KI⊥BC => AH//IK
Xét ΔAKI:
Ta có:AK=IK(ΔABK=ΔIBK)
=> ΔAKI cân tại K
=> góc KAI= góc KIA
Ta có AH//KI(cmt)
=> góc HAI= góc KIA mà góc KAI=KIA
=> góc HAI= góc KAI
=> AI là phân giác góc HAC
c, Ta có ∆ABK = ∆IBK (cmt)
=> AKB= IKB (2 góc t/ứ) (3)
Từ AH // KI (cmt)
Suy ra AFK = BKI (slt) (4)
Từ (3) và (4) => AFK = AKB
=>∆AKF cân tại A
CMTT ta có : IFK = IKF
=>∆IKF cân tại I
=> IK = IF (t/c tam giác cân)
Xét ∆IKC vuông tại I có
KC > IK (ch > cgv)
=> KC > IF (5)
Xét ∆ABF và ∆IBF có
BF : chung
ABK = CBK (gt)
BA = IB (cmt)
=>∆ABF = ∆IBF (c.g.c)
=> AF = IF (2 cạnh t/ứ) (6)
Từ (5) và (6) => KC > AF
d, Xét ∆AIM và ∆AIC có
AI : chung
HAI = CAI (cmt)
AM = AC (gt)
=>∆AIM = ∆AIC (c.g.c)
=> AMI = ACI (2 góc t/ứ)
Và IM = IC (2 cạnh t/ứ)
Ta có AM = AC (gt)
=> AF + FM = AK + KC
Mà AK = AF (∆AFK cân tại A — cmt)
=> FM = KC
Xét ∆FIM và ∆KIC có
FM = KC (cmt)
AMI = ACI (cmt)
MI = IC (cmt)
=>∆FIM = ∆KIC (c.g.c)
=> FIM = KIC = 90° (2 cạnh t/ứ)
Lại có IF cắt IM tại I
=> IF ⊥ IM tại I
a, Xét ∆ABK vuông tại A và ∆IBK vuông tại I có
BK : chung
ABK = CBK (gt)
=>∆ABK = ∆IBK (ch-gn)
=> AB = IB (2 cạnh t/ứ)
Và AK = IK (2 cạnh t/ứ)
b, Xét ∆AIK có AK = IK (cmt)
=>∆AKI cân tại K
=> CAI = KIA (t/c tam giác cân) (1)
Ta có AH ⊥ BC (gt)
KI ⊥ BC (gt)
=>AH // KI
=> HAI = AIK (slt)(2)
Từ (1) và (2)
=> HAI = CAI
Do đó AI là pg HAC
c, Ta có ∆ABK = ∆IBK (cmt)
=> AKB= IKB (2 góc t/ứ) (3)
Từ AH // KI (cmt)
Suy ra AFK = BKI (slt) (4)
Từ (3) và (4) => AFK = AKB
=>∆AKF cân tại A
CMTT ta có : IFK = IKF
=>∆IKF cân tại I
=> IK = IF (t/c tam giác cân)
Xét ∆IKC vuông tại I có
KC > IK (ch > cgv)
=> KC > IF (5)
Xét ∆ABF và ∆IBF có
BF : chung
ABK = CBK (gt)
BA = IB (cmt)
=>∆ABF = ∆IBF (c.g.c)
=> AF = IF (2 cạnh t/ứ) (6)
Từ (5) và (6) => KC > AF
d, Xét ∆AIM và ∆AIC có
AI : chung
HAI = CAI (cmt)
AM = AC (gt)
=>∆AIM = ∆AIC (c.g.c)
=> AMI = ACI (2 góc t/ứ)
Và IM = IC (2 cạnh t/ứ)
Ta có AM = AC (gt)
=> AF + FM = AK + KC
Mà AK = AF (∆AFK cân tại A — cmt)
=> FM = KC
Xét ∆FIM và ∆KIC có
FM = KC (cmt)
AMI = ACI (cmt)
MI = IC (cmt)
=>∆FIM = ∆KIC (c.g.c)
=> FIM = KIC = 90° (2 cạnh t/ứ)
Lại có IF cắt IM tại I
=> IF ⊥ IM tại I