Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường trung tuyến AM. D là trung điểm AB. Điểm E đối xứng với M qua D. Chứng minh rằng:
a) E đối xứng với M qua AB
b) Tứ giác AEMC, AEBM là hình gì? Vì sao?
c) Tam giác ABC có thêm điều kiện gì thì tứ giác AEBM là hình vuông?
a) Do AM là trung tuyến nên $AM = MB = MC = \dfrac{1}{2} BC$
Vậy tam giác AMB cân tại M. Lại có MD là đường trung tuyến nên $MD \perp AB$.
Mặt khác, do E đx vs M qua D nên MD = DE.
Vậy AB là trung trực ME.
Do đó E đxung vs M qua AB.
b) Do M và D là trung điểm BC, AB nên MD là đường trung bình của tam giác ABC, do đó DM//AC và $DM = \dfrac{1}{2}AC$.
Lại có D là trung điểm ME nên $DM = \dfrac{1}{2} ME$.
Vậy $AC = ME$ ($= 2DM$).
Xét tứ giác AEMC có ME//AC và ME = AC.
Vậy tứ giác AEMC là hình bình hành.
Suy ra AE//MC hay AE//MB và AE = MB hay AE//MB.
Xét tứ giác AEBM có AE = MB và AE//MB nên tứ giác này là hình bình hành.
Lại có $AB \perp ME$ nên tứ giá AMBE là hình thoi.
c) Để tứ giác AMBE là hình vuông thì $\widehat{AMB} 90^{\circ}$. Vậy $AM \perp BC$, tức là đường trung tuyến hạ từ A cx là đường cao.
Vậy tam giác ABC cân tại A.
Do đó, để tứ giác AEBM là hình vuông thì tam giác ABC vuông cân tại A.