cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. gọi H là điểm đối xứng với M qua AB, E là giao điểm của MH và AB. gọi K là điểm đối xứng với M qua AC, F là giao điểm của MK và AC
a/xác định dạng của tứ giác AEMF,AMBH,AMCK
b/chứng minh rằng H đối xứng với K qua A
c/tam giác vuông ABC có thêm điều kiện gì thì AEMF là hình vuông?
xét tứ giác AEMF có 3 góc vuông
⇒AEMF LÀ HÌNH Chữ nhật
xét tam giác ABC CÓ M là trung điểm của BC
ME song song MF
suy ra E là trung điểm của AB nên AMBH là hình thoi
Tương tự với AMCK
xét hình thoi AMBH CÓ AH=AM (1)
Máy tính mik ko vẽ dc hình mong bạn thông cảm
xét hình thoi AMCK CÓ AK=AM (2)
TỪ (1) VÀ (2) SUY RA AH=AK suy ra H đói xứng với K qua A
Để AEMF vuông thì AM phải là đg phân giác của góc EAF
suy ra AM phải vừa là trung tuyến vừa là đg phân giác
nên tam giác ABC phải vuông cân tại A
Giải thích các bước giải:
$\eqalign{ & a) + )\,\,\angle MFA = 90^\circ (do\,MF \bot AC) \cr & \angle FAE = 90^\circ (gt) \cr & \angle MEA = 90^\circ (do\,ME \bot AB) \cr & \Rightarrow AEMF\,là\,hình\,chữ\,nhật \cr & + )\,EM = EH(do\,H\,đối\,xứng\,M\,qua\,AB) \cr} $
Tam giác ABC vuông tại A có AM là trung tuyến
=> AM=MB=MC=1/2BC
=> Tam giác AMB cân tại M
Vì $ME \bot AB$=> E là trung điểm của AB
=> AE=EB
$Mà\,MH \bot AB\,tại\,E$
=> AMBH là hình thoi
Chứng minh tương tự ta cũng có AMCK là hình thoi
$\eqalign{ & b)\,Vì\,AMCK\,là\,hình\,thoi\, \cr & \Rightarrow AK//CM,\,AK = CM \cr} $
Chứng minh tương tự ta có AH//MB, AH=MB
=> K,A,H thẳng hàng và AK=AH=MB=CM
=> H đối xứng với K qua A
c) Để AEMF là hình vuông thì AE=MF, mà AE=1/2AB, ME=1/2AC
=> AB=AC thì AEMF là hình vuông