Cho tam giác ABC vuông tại A , góc ACB = 30o .Tia phân giác của góc ABC cắt cạnh AC tại M.Lấy K trên cạnh BC sao cho BK=BA
a) Chứng minh tam giác ABM và tam giác KBM
b) Gọi E là giao điểm của các đường thẳng AB và KM .Chứng minh tam giác MEC cân
c) CM: tam giác BEC đều
d) Kẻ AH vuông góc với EM tại H . Các đường thẳng AH và EC cắt nhau tại N .Chứng minh KN vuông góc AC
cần cả bốn câu nehs
a) Xét ΔABM và ΔKBM, có:
.AB=BK(gt)
.^B1=^B2(t/c tia phân giác)
.BM chung
=> ΔABM=ΔKBM(C.G.C)=>MA=MK(2 cạnh t.ư)
b) Xét ΔAME và ΔKMC, có:
.^A=^K=90 độ
.AM=MK(từ a)
.^M1=^M2(đối đỉnh)
=>ΔAME=ΔKMC(g.c.g)
=>ME=MC(2 cạnh t.ư)
Xét ΔMEC, có: ME=MC(cmt)=>ΔMEC cân tại M
c) Xét ΔABC, có:
^A+^B+^C=180 độ=>^B=180 độ-(^A+^C)=60 độ
. AE+AB=BE, CK+BK=CB
Mà AE=CK(từ a)=>AE+AB=BE= CK+BK=CB
=>BE=CB
=>ΔBEC, cân
Mà ^B=60 độ
=>ΔBEC đều
d). Trong ΔBEC, có:
EK⊥BC=>EK là đường cao của BC
CA⊥BE=CA là đường cao của BE
Mà ΔBEC đều=>EK là đường trung tuyến của BC=>BK=KC
=>CA là đường trung tuyến của BE=>BA=AE
^AEM+^MEC=60 độ=>^MEC=60 độ-^AEM=60 độ-30 độ=30 độ
^BCA+^ACE=60 độ=>^ACE=60 độ-^BAC=60 độ-30 độ=30 độ
EN+NC=CE, mà CE=BA(cmt)
Mà EN=BA=>NC=AB
Gọi I là giao điểm của KN và AC
Xét ΔKCI và ΔNCI, có:
.KC=CN(cmt)
.^BCA=^ECA(cmt)
.CI chung
=> ΔKCI = ΔNCI(c.g.c)
=>^KIC=^CIN(2 góc t.ư)
Mà ^KIC+^CIN=180 độ(kề bù)
=>^KIC=^CIN=$\frac{180 độ}{2}$ =90 độ
=>KN⊥CI, mà I thuộc CA=>KN⊥CA
Giải thích các bước giải:
a) Xét `ΔABM` và `ΔKBM` có:
`BA = BK(g t)`
`\hat{ABM}=\hat{KBM}(g t)`
`BM:chung`
`=> ΔABM = ΔKBM(c.g.c)`
b) `ΔABM = ΔKBM(cmt)`
`=> AM = KM` (2 cạnh tương ứng)
`\hat{BAM}=\hat{BKM}=90^o` (2 góc tương ứng)
`⇒ KM ⊥ BC`
Xét `ΔAME` và `ΔKMC` có:
`\hat{MAE}+\hat{MKC}=90^o(MA ⊥ BE; KM⊥BC)`
`AM=KM(cmt)`
`\hat{AME}=\hat{KMC}` (2 góc đối đỉnh)
`⇒ ΔAME=ΔKMC (g.c.g)`
`⇒ ME = MC` (2 cạnh tương ứng)
`=> ΔMEC` cân tại `M`
c) `ΔABC` vuông tại `A => \hat{ABC}+\hat{ACB}=90^o`
`=> \hat{ABC}+30^o = 90^o`
`=> \hat{ABC}=60^o`
`ΔAME=ΔKMC(cmt)`
`=> AE = KC` (2 cạnh tương ứng)
Lại có: `BA = BK(g t)`
`=> BA + AE = BK+KC`
`=> BE = BC =>ΔBEC` cân tại `B`
mà `\hat{EBC}=60^o ⇒ ΔBEC` đều
d) `ΔBEC` đều có:
+) `EK` là đường cao `-> EK` đồng thời là đường trung tuyến
`=> BK=CK=1/2 BC`
+) `CA` là đường cao `→CA` đồng thời là đường trung tuyến
`=> AB=AE=1/2 BE`
`ΔBEC` đều `=> \hat{BCE}=60^o; BE=EC=BC`
Có: $\begin{cases} AN ⊥ EK\\ BC ⊥ EK\end{cases}$
$⇒ AN//BC$
`=> \hat{EAN}=\hat{ABC}=60^o` (2 góc đồng vị)
`\hat{ENA}=\hat{BCE}=60^o` (2 góc đồng vị)
`⇒ \hat{AEN}=\hat{EAN}=\hat{ENA}=60^o`
`⇒ ΔANE` đều `=> AE = EN`
mà `AE = 1/2 BE ⇒ EN = 1/2 BE = 1/2 EC = 1/2 BC = CK`
`EN=1/2 EC=> N` là trung điểm của `EC => CN = EN = CK`
`=> ΔCNK` cân tại `C`
Lại có: `\hat{KCN}=60^o ⇒ ΔCNK` đều
`=> \hat{CNK}=60^o`
`⇒ \hat{CNK}=\hat{BEC}`
mà `2` góc này ở vị trí đồng vị $⇒ KN//BE$
mà $BE ⊥ AC ⇒ KN ⊥ AC(đpcm)$