Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm BC. Qua M kẻ ME vuông góc AB, MF vuông góc AC
a) Chứng minh tứ giác AEMF là HCN
b) Gọi N là điểm đối xứng của M qua F .Chứng minh tứ giác MANC là hình gì? Vì sao?
c) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AEMF là hình vuông
a) Xét tứ giác AEMF có
$\widehat{MEA} = \widehat{EAF} = \widehat{AFM} = 90^{\circ}$
Vậy tứ giác AEMF là hình chữ nhật.
b) Do $MF \perp AC$ và $AB \perp AC$ nên $MF //AB$.
Lại có M là trung điểm của AC nên MF là đường trung bình của tam giác ABC.
Do đó F là trung điểm AC.
Lại có N đxung vs M qua F nên F là trung điểm MN.
Xét tứ giác AMCN có F là trung điểm MN và F là trung điểm AC, do đó F là tâm đxung của tứ giác này.
Vậy tứ giác AMCN là hình bình hành.
Lại có $MN \perp AC$ nên tứ giác MANC là hình thoi.
c) Để hình chữ nhật AEMF là hình vuông thì AM phải là phân giác của $\widehat{BAC}$ và do đó $\widehat{MAB} = 45^{\circ}$
Lại có AM là đường trung tuyến của tam giác vuông ABC nên AM = MB và do đó tam giác MAB cân tại M, suy ra
$\widehat{MAB} = \widehat{MBA} = 45^{\circ}$
Vậy tam giác ABC cân tại A.
Đáp án:
Giải thích các bước giải: