Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Gọi E,F lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC. a) CM: BC^2=3AH^2 + BE^2 + CF^2 b) CM: AB^3/AC^3=BE/

a) Ta có: $\widehat{A} = \widehat{E} = \widehat{F} = 90^o$

$\Rightarrow AEHF$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow AH = EF$

Áp dụng định lý Pytago, ta được:

$BC^2 = AB^2 + AC^2$

$= BH^2 + AH^2 + CH^2 + AH^2$

$= BE^2 + EH^2 + CF^2 + HF^2 + 2AH^2$

$= BE^2 + CF^2 + (EH^2 + HF^2) + 2AH^2$

$= BE^2 + CF^2 + EF^2 + 2AH^2$

$= BE^2 + CF^2 + 3AH^2$

b) Ta có: $ΔABH \sim ΔCAH \, (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AH}{CH}$

$\Rightarrow \dfrac{AB^2}{AC^2} = \dfrac{AH^2}{CH^2} = \dfrac{BH.CH}{CH^2} = \dfrac{BH}{CH}$

$\Rightarrow \dfrac{AB^4}{AC^4} = \dfrac{BH^2}{CH^2} = \dfrac{AB.BE}{AC.CF}$

$\Rightarrow \dfrac{AB^3}{AC^3} = \dfrac{BE}{CF}$

c) Ta có: $AB.AC = BC.AH = 2S_{ABC}$

$\Rightarrow BC = \dfrac{AB.AC}{AH}$

Ta được:

$BC.BE.CF = \dfrac{AB.AC}{AH}.BE.CF$

$= \dfrac{(AB.BE).(AC.CF)}{AH}$

$= \dfrac{BH^2.CH^2}{AH}$

$= \dfrac{AH^4}{AH} = AH^3$

d) $BC.HE.HF$

$= \dfrac{AB.AC}{AH}.HE.HF$

$= \dfrac{(AB.HE).(AC.HF)}{AH}$

$= \dfrac{(AH.BH).(AH.CH)}{AH}$

$= AH.BH.CH = AH^3$