Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Gọi E,F lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC. a) CM: BC^2=3AH^2 + BE^2 + CF^2 b) CM: AB^3/AC^3=BE/

0 bình luận về “Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Gọi E,F lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC. a) CM: BC^2=3AH^2 + BE^2 + CF^2 b) CM: AB^3/AC^3=BE/”

1. a) Ta có: $\widehat{A} = \widehat{E} = \widehat{F} = 90^o$

   $\Rightarrow AEHF$ là hình chữ nhật

   $\Rightarrow AH = EF$

   Áp dụng định lý Pytago, ta được:

   $BC^2 = AB^2 + AC^2$

   $= BH^2 + AH^2 + CH^2 + AH^2$

   $= BE^2 + EH^2 + CF^2 + HF^2 + 2AH^2$

   $= BE^2 + CF^2 + (EH^2 + HF^2) + 2AH^2$

   $= BE^2 + CF^2 + EF^2 + 2AH^2$

   $= BE^2 + CF^2 + 3AH^2$

   b) Ta có: $ΔABH \sim ΔCAH \, (g.g)$

   $\Rightarrow \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AH}{CH}$

   $\Rightarrow \dfrac{AB^2}{AC^2} = \dfrac{AH^2}{CH^2} = \dfrac{BH.CH}{CH^2} = \dfrac{BH}{CH}$

   $\Rightarrow \dfrac{AB^4}{AC^4} = \dfrac{BH^2}{CH^2} = \dfrac{AB.BE}{AC.CF}$

   $\Rightarrow \dfrac{AB^3}{AC^3} = \dfrac{BE}{CF}$

   c) Ta có: $AB.AC = BC.AH = 2S_{ABC}$

   $\Rightarrow BC = \dfrac{AB.AC}{AH}$

   Ta được:

   $BC.BE.CF = \dfrac{AB.AC}{AH}.BE.CF$

   $= \dfrac{(AB.BE).(AC.CF)}{AH}$

   $= \dfrac{BH^2.CH^2}{AH}$

   $= \dfrac{AH^4}{AH} = AH^3$

   d) $BC.HE.HF$

   $= \dfrac{AB.AC}{AH}.HE.HF$

   $= \dfrac{(AB.HE).(AC.HF)}{AH}$

   $= \dfrac{(AH.BH).(AH.CH)}{AH}$

   $= AH.BH.CH = AH^3$

   Bình luận